Cel artykułu Adama Wyrzykowskiego, "
Podzielność liczb w poziomych rzędach trójkąta Pascala", Delta 7 (422) 2009, str. 1-3, podany jest w samym tytule. Temat jest ciekawy, także podane w nim standardowe wyniki. Powtarzam wciąż "
ciekawe", pisząc o materiałach Delty, ale taka jest nauka i matematyka - ciekawa!, a dany temat wystepuje w wielu działach matematyki, łącznie z algebraiczną i różniczkową topologią oraz w mechanice statystycznej.
Zanim skomentuję artykuł Wyrzykowskiego szczegółowiej, chcę wspomnieć o pewnej częstej wśród matematyków trudności, która dotkliwej daje się we znaki młodszym. Nawet sam Dawid Hilbert, jeden z dziesięciu największych i najostrzejszych umysłów wszechczasów, twierdził, że miał trudności z uczeniem się. Właśnie ta trudność, twierdził, zmuszała go do głębszego wnikania w matematykę. Obyśmy wszyscy mieli takie kłopoty!!! Tym niemniej wielu, prawdopodobnie przeważająca większość matematyków ma trudności ze skupieniem się na czytaniu matematyki. Matematycy nastawiają się na aktywne uprawianie swojej dziedziny, więc gdy tylko mogą, to przez czytany tekst ledwo prześlizgują się, a detale próbują dowodzić w głowie, lub nawet na boku, na papierze, samodzielnie - ba, zdolniejsi całkiem często uzyskują przy tym dowody elegantsze niż w czytanym tekście (choć rzadko elegantsze od istniejących w literaturze). Istniały wręcz szkoły matematyczne, których każdy student sam sobie dowodził wszystkich twierdzeń, których się uczył. Profesor Kazimierz Kuratowski, wspaniały nauczyciel i pisarz matematyczny, wyrażał się o takiej metodzie krytycznie, jako o przesadnej. Obowiązuje
yin & yang. Profesor Kuratowski uważał, jakże słusznie, że przed nami mistrzowie dokonali pięknych rzeczy w pięknym stylu, więc studenci powinni się od mistrzów uczyć. Należy rozwijać własną zdolność formułowania i tworzenia oryginalnych twierdzeń, dowodów i pojęć, ale arogancją byłoby ignorowanie innych. Siła matematyki polega na budowaniu na osiągnięciach poprzedników. Newton powiedział, że mógł dokonać postępu w fizyce, gdyż stał na ramionach tytanów: Galileusza i Keplera.
W parze z trudnością uczenia się i czytania idzie niechęć do cytowania innych . W przypadku prac naukowych, cytowanie innych autorów jest obowiązkiem etycznym. Należy im oddać honor. W przypadku artykułów popularyzujących naukę, cytowanie jest bodajże jeszcze ważniejsze, bo chodzi przecież nie tylko o etykę, ale i o popularyzację, a więc w szczególności o zapoznanie czytelników z historią nauki, z jej ludzkim aspektem. Artykuły popularnonaukowe powinny w czytelniku rozwinąć szacunek nie tylko dla nauki, ale także dla jej twórców. Ważny jest ludzki aspekt nauki. Chodzi też o szerszą perspektywę wielkiego domu, który przydaje ważności wynikom podanym w artykule, będących na ogół skromnymi cegiełkami.
Jednak młodym często trudno jest cytować. Po prostu mają mniejsze doświadczenie. Sam jestem archeologiczny (kieeeedyś byłem stary, potem starożytny, a dziś i od dawna już archeologiczny), a dalej nie jest mi łatwo zebrać odnośniki na dowolnie zadany temat. Dlatego dwa z moich artykułów w Delcie zaszczycił swoimi notkami historycznymi i o literaturze Profesor Władysław Narkiewicz - dopiero te notki przydały moim artykułom pewnej wagi (o ile).
Notka pod artykułem "
Podzielność..." mówi nam, że jest on skrótem pracy nagrodzonej srebrnym medalem w Konkursie Prac z Matematyki, Częstochowa 2008. Gratulacje! Tak więc autor jest uczniem. Wspaniale, że organizuje się takie konkursy - aż się rozmarzyłem: czemu nie za moich prehistorycznych czasów? :-) Na końcu artykułu autor odsyła do artykułu Karoliny Gogolińskiej, Karola Mielewczyka i Elżbiety Węglewskiej:
Seminarium2w którym podany jest pewien związek trójkąta Pascala z liczbami Fibonacciego. Nawet go już sobie ściągnąłem, i planuję przejrzeć. Skupię się tutaj jednak na samym artykule z Delty, jako że Epsilon jest wierny Delcie. Artykuł pokreśla geometryczne własności trójkąta Pascala mod 2, wspomina podobieństwo do trójkąta Sierpińskiego (bez opisu tego ostatniego) - to jest bardzo atrakcyjne, ale niestety tego wątku artykuł w ogóle nie rozwija (czyżbym dalej nie potrafił czytać? czyżbym przegapił? - przegapienie powinno być w tym przypadku niemożliwe).
Istotną pozycję w artykule zajmuje, wraz ze swoim dowodem,
Twierdzenie 3. Jeżeli p jest liczbą pierwszą, m k ∈ N oraz 0 < m < pm, to ma miejsce podzielność p | (pm ## k).
gdzie (n ## k) oznacza w tym blogu współczynnik dwumianowy Newtona "
n nad k". Przy tym Wyrzykowski wprowadza własne oznaczenie S(n p) na podstawowe, standardowe
ordp(n)
gdzie, zgodnie z
gaussowskim podstawowym twierdzeniem arytmetykin = ∏ po(n)
dla dowolnej dodatniej liczby wymiernej, przy czym iloczyn bierzemy po wszystkich liczbach pierwszych p, oraz o(n) := ord
p(n). Innymi słowy, ord
p(n) jest jednoznacznym wykładnikiem nad p w twierdzeniu Gaussa. W iloczynie formalnie występuje nieskończenie wiele czynników, ale tylko skończenie wiele różnych od 1.
Dla n := 0 przyjmujemy też ord
p(0) := ∞.
Liczbę ord
p(n) nazywamy
rzędem p liczby n. Szkoda, że w artykule nie wspomniano o podstawowej roli
rzędu w teorii liczb, a nawet poza teorią liczb, zwłaszcza w analogicznych wersjach dotyczących na przykład funkcji wymiernych i analitycznych. Matematyka jest przeogromna, ale świadomość analogii czyni ją zwartą, głęboką i piękną. Zauważmy, że
rząd ma własności logarytmiczne, a liczby naturalne przy takiej analogii grają rolę liczb rzeczywistych ≥ 1:
- ordp(1) = 0
- ordp(m ⋅ n) = ordp(m) + ordp(n)
- ordp(n) ≥ 0 dla liczb naturalnych n
W każdym razie dowód Twierdzenia 3 można podać w jednym zdaniu:
Dowód 1 (Twierdzenia 3): Ponieważ dla 0 < k < p
m mamy ord
p(p
m/(p
m - k)) > 0, to
ordp( (pm ## k)) = ordp(( pm - 1 ## k) ⋅ pm/(pm - k))
≥ ordp(pm/(pm - k)) > 0
Koniec Dowodu 1Długość dowodu nie jest jedynym kryterium prostoty. Następujący algebraiczny dowód jest wciąż prostszy:
Dowód 2 (Twierdzenia 3): Twierdzenie zachodzi dla m = 1, bo oczywiście
p | (p ## k) gdy 0 < k < p
Zatem:
(1 + x)p = 1 + xp mod p
dla dowolnego całkowitego x. Teraz pokażemy, że
(1 + x)pm = 1 + xpm mod p
dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej m. Dla m := 0 to
pomocnicze twierdzenie zachodzi. A dla m > 0 mamy indukcyjnie:
(1 + x)pm = (1 + xpm-1)p = 1 + xpm mod p
co kończy dowod twierdzenia pomocniczego, które pociąga za sobą żądane kongruencje:
(pm ## k) = 0 mod p dla każdego k = 1 ... pm-1
Koniec Dowodu 2UWAGA: Powyższe
twierdzenie pomocnicze było równoważne Twierdzeniu 3, a jego sformułowanie jest bardziej podstawowe i przejrzyste.
Twierdzenie 3 miało służyć w artykule wyprowadzeniu Twierdzenia 1 z artykułu (ale wyprowadzenia tego nie zauważyłem):
Twierdzenie 1. Dla dowolnych m ∈ N oraz k ∈ {0 1 ... 2m-1} zachodzi
(2m-1 ## k) = 1 mod 2.
Dowód, w stylu algebraicznym, miło wynika z twierdzenia pomocniczego, w tym ze wzoru na postęp geometryczny - wszystko zapisujemy mod 2 (wtedy plus i minus są tym samym):
1+x + ... + x2m-1 = (1 + x2m)/(1+x)
= (1+x)2m-1 mod 2
Koniec dowoduDla nieparzystych liczb pierwszych p sytuacja jest podobna:
1+x + ... + xpm-1 = (1 - xpm)/(1-x)
= (1-x)pm-1 mod p
czyli
1+x + ... + xpm-1 = (1-x)pm-1 mod p
skąd natychmiast wynika:
Twierdzenie 1': (pm-1 ## k) = (-1)k dla kaźdego k = 0 1 ... pm-1.
Ppowyższy wzór i twierdzenie są ogólne, t.j. zachodzą także dla p=2.
