Niniejsza nota dopełnia (jak druga strona medalu) wyniki not poprzednich, patrz
Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy).
Chociaż dowody poniżej nie zależą od poprzednich not (poza podsumowaniem), to jednak notacja i terminologia pochodzi w dużej mnierze z wcześniejszych, więc warto rzucić na nie okiem. W sumie, scharakteryzowałem skończone ostro 2-przechodnie przestrzenie jako 1-wymiarowe przestrzenie afiniczne nad _ciałami uogólnionymi_ w sensie poniżej; nazywam takie uogólnione ciała _gildami_ (bo alfabetycznie po angielsku jesrt naturalnym mieć _gild_ po _field_ ). Pokazałem też, że dodawanie w gildach skończonych jest przemienne.
Definicja ciała uogólnionego, gild.
Niech
K := (K + * Sub Div 0 1)
będzie uporządkowaną siódemką, złożoną ze zbioru K, operacji 2-argumentowej + w zbiorze K, operacji 2-argumentowej * w zbiorze K# := K\{0}, operacji 1-argumentowej Sub w zbiorze K, 1-argumentowej Div w zbiorze K#, oraz dwóch różnych elementów 0 1 zbioru K, gdzie:
(K + 0) jest grupą,
(K# * 1) jest grupą,
oraz zakładając (dodefiniowując):
a*0 = 0*a = 0 dla każdego a ∈ K
niech zachodzi własność lewej rozdzielności:
a*(b+c) = a*b + a*c
(jak zwykle zakładamy, że * wiąże mocniej niż +). Wtedy uporządkowaną siódemkę K nazywamy ciałem uogólnionym lub krótko gild.
UWAGA 0: Nie zakładamy przemienności ani dodawania +, ani mnożenia *.
TWIERDZENIE 0 x * Sub(y) = Sub(x * y)
DOWÓD
x*y + x*Sub(y) = x*(y + Sub(y)) = x*0 = 0
KONIEC DOWODU
Przekształcenia afiniczne
Dla dowolnych a b ∈ K definiujemy przekształcenie afiniczne
f := fa b : K → K
jak następuje:
f(x) := a*x + b dla dowolnego x ∈ K
Gdy a=0, to f jest funkcją stałą, równą b. Dla niezerowych a, przekształcenia afiniczne jest surjekcją, t.zn. dla dowolnego X ∈ K istnieje x ∈ K takie, że f(x) = X - rzeczywiście, jest tak dla:
x := Div(a)*(X + Sub(b))
Co więcej, jest tak tylko dla tego jednego x, co wynika z procesu rozwiązywania równania f(x) = X. Można też sprawdzić jednoznaczność bez rozwiązywania równania tak -
gdy f(x') = f(x), to f(x') + Sub(f(x)) = 0,
czyli:
a*(x' + Sub(x)) = a*x' + a*Sub(x)
= a*x' + Sub(a*x)
= a*x' + b + Sub(b) + Sub(a*x)
= f(x') + Sub(f(x)) = 0
więc x' +Sub(x) = 0, skąd x'=x.
Pokazaliśmy, że dla niezerowego współczynnika a przekształcenie afiniczne f jest bijekcją.
W szczególności bijekcją afiniczną jest IdK:
IdK(x) := 1*x + 0
Przekształcenie odwrotne
Widzieliśmy, że dla 0 ≠ a ∈ K, afiniczna równość daje się odwrócić:
X = a*x + b ⇔ x = A*X + B
gdzie A := Div(a) oraz B := Div(a) + Sub(b)
Oznacza to, że bijekcja g odwrotna do bijekcji afinicznej f jest afiniczna, gdzie
g(x) := A*x + B
g o f = f o g = IdK
Kompozycja przekształceń afinicznych
Niech dwa przekształcenia afiniczne będą dane wzorami:
f(x) := a*x + b oraz F(x) := A*x + B
gdzie a b A B ∈ K są dowolne. Wtedy:
(F o f)(x) = F(a*x + b) = (A*a)*x + (A*b + B)
czyli kompozycja F o f też jest afiniczna. W szczególności dla bijekcji, w świetle ostatniego i poprzednich wyników, otrzymujemy:
TWIERDZENIE 1: Bijekcje afiniczne gildu K tworzą grupę względem operacji 2-argumentowej kompozycji przekształceń.
Ostra 2-przechodniość grupy afinicznej
Dla dowolnie ustalonych x y X Y ∈ K takich, że x ≠ y, znajdźmy wszystkie (o ile jakiekolwiek) pary a b ∈ K dla których zachodzą równości:
X = a*x + b
Y = a*y + b
czyli chodzi o rozwiązanie układu 2 równań z niewiadomymi a b. Wartości a b muszą spełniać:
Y + Sub(X) = a*y + b + Sub(b) + Sub(a*x)
= a*y + Sub(a*x) = a*y + a*Sub(x)
= a*(y + Sub(x))
czyli
a := (Y + Sub(X))*Div(y + Sub(x))
jest jedyną możliwą wartością a (t.zn. każda inna jest zła). Skoro tak, to
b := Sub(a*x) + X
dla a zdefiniowanego jak przed chwilą, jest jedyną możliwą wartością b. To dowodzi 2-ostrości grupy afinicznej. Pozostała 2-przechodniość. Wystarczy sprawdzić, że podane wartości a b są poprawne:
a*x + b = a*x + Sub(a*x) + X = X
- działa. Teraz:
a*y + b = a*y + Sub(a*x) + X = a*(y + Sub(x)) + X
= (Y + Sub(X)) + X = Y
- działa. Udowodniliśmy:
TWIERDZENIE 2: Grupa bijekcji afinicznych gildu K jest ostro 2-przechodnia.
