Charakteryzacja skończonych przestrzeni ostro 2-przechodnich (cz. I)

Pokażę (w tej i następnej notce), że każda skończona, n-punktowa przestrzeń ostro 2-przechodnia  (X G)  jest zbiorem elementów pewnego ciała skończonego, wraz z jego grupą przekształceń afinicznych (traktujemy ciało jako 1-wymiarową przestrzeń afiniczną).

Niniejsza notka jest kontynuacją poprzednich, z cyklu:

Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy)

W szczególności zakładamy, że (X G) jest skończoną, n-punktową, ostro 2-przechodnią przestrzenią, oraz V(G) - zbiorem wszystkich permutacji z G, niemających punktu stałego; ponadto

        A(G)  :=  V(G) ∪ {Id_X}
        Xif(a)  :=  { g ∈ G : g(a) = a }   dla każdego  a ∈ X

==========================================
Lewostronna rozdzielność
==========================================

Niech  O ∈ X,  r ∈ Xif(O),  oraz niech  v w ∈ A(G)  będą dwoma różnymi wektorami. Ponadto wprowadźmy punkty  a b A B  oraz involucje  s S ∈ Inv(G),  takie że:

        a := v(O)
        b := w(O)
        s(a) := b   (zatem także  s(b) := a)

        A := r(a)
        B := r(b)   (punkty  A B  są różne)
        S(A) := B   (zatem także  S(B) := A)

Zachodzi wtedy, jak pokażę poniżej, następująca rozdzielność:

        S(O) = (r o s)(O)

Jest to rozdzielność, gdyż lewa strona  S(O)  gra rolę  A+B = r(a)+r(b),  oraz prawa strona  (r o s)(O)  gra rolę  r(a+b).  Otrzymujemy zatem równość:  r(a+b) = r(a) + r(b).  Więcej o tym napiszę w dalszej części niniejszej notki.

DOWÓD (powyższej rozdzielności)  Oczywiście:

        (r o s o r^-1)(A) = B  oraz  (r o s o r^-1)(B) = A

Zatem:

        S  =  r o s o r^-1

Ponadto:

        A = V(O)   dla wektora  V := r o v o r^-1
        B = W(O)   dla wektora  W := r o w o r^-1

Zgodnie z wynikiem z poprzedniej notki (o przemienności wektorów):

    S(O)  =  (V o W)(O)  =  ((r o v o r^-1) o (r o w o r^-1))(O)

        =  (r o v o w o r^-1)(O)  =  (r o v o w)(O)  =  (r o s)(O)

KONIEC dowodu (powyższej rozdzielności)

=========================================================
Definicja struktury ciała w przestrzeni ostro 2-przechodniej
=========================================================

Niech  O E ∈ X  będą dwoma różnymi punktami. Zdefinijmy, dla dowolnych  a b ∈ X,  gdzie  a ≠ O,  permutacje  ad_b ∈ A(G)  oraz  mp_a ∈ Xif(a)  jako (jedyne!) spełniające równości:

        ad_b(O) := b
        mp_a(E) := a

oraz dodatkowo definiujemy  mp_O  jako funkcję  X  w siebie, tożsamościowo równą O:

        mp_O(x) := O   dla każdego  x ∈ X

W szczególności:

        ad_O  =  Id_X  =  mp_E

Z pomocą dwóch właśnie wprowadzonych funkcji dodawania stałej oraz mnożenia przez stałą, pełne 2-argumentowe dodawanie i mnożenie definiujemy następująco:

        x + y  :=  ad_x(y)
        x ⋅ y  :=  mp_x(y)

dla dowolnych  x y ∈ X.

Struktura ostro 1-przechodniej grupy  A(G)  przenosi się izomorficznie na  X  poprzez bijekcję zbiorów  X A(G),  daną przez:

        x ↦ ad_x     dla x ∈ X

Jest to szczególny przypadek ogólnego twierdzenia (obserwacji) o grupach ostro 1-przechodnich (zachodzi zarówno w przypadku skończonym jak i nieskończonym), ale dla spokoju ducha podam dowód. Wystarczy pokazać, że podana bijekcja jest izomorfizmem struktur algebraicznych (A(G) o)  oraz (X +). W tym celu porównajmy wektor ad_a+b z wektorem ad_a o ad_b. Oba odwzorowują (jako wektory-permutacje) element  O  w element  a+b. Jest to więc ten sam wektor. Ponieważ struktura algebraiczna  (A(G) o)  jest grupą, a struktura algebraiczna  (X +)  jest z nią izomorficzna, to grupą jest także struktura algebraiczna  (X +).