Homomorfizm indukowany przez zbiór niezmienniczy (teoria grup)

Niech G = (G ⋅ ^-1 e) będzie dowolną grupą, gdzie e ∈ G jest jednością.

Zbiór T ⊆ G nazywamy niezmienniczym (w grupie G), gdy


    x ⋅ t ⋅ x^-1 ∈ T dla dowolnego t ∈ T oraz x ∈ G.

---

Przykład 0 Każda podgrupa niezmiennicza grupy G jest zbiorem niezmienniczym.

---

Przykład 1 Niech

    Inv(G) := { x ∈ G : x² = e } - jest to zbiór wszystkich elementów-inwolucji grupy G. Nietrudno sprawdzić, że inwolucje stanowią zbiór niezmienniczy. Ponadto iloczyn dwóch inwolucji, a ⋅ b, jest inwolucją ⇔ gdy te inwolucje są przemienne,  a ⋅ b = b ⋅ a.  Zatem, gdy każde dwie inwolucje są przemienne, i tylko wtedy, zbiór Inv(G) stanowi podgrupę - oczywiście normalną i przemienną.

---

Niech T będzie niepustym zbiorem niezmienniczym. Niech Sym(T) bedzie zbiorem wszystkich bijekcji zbioru T (czyli permutacji, gdy T jest skończone). Sym(T) jest grupą ze względu na działanie kompozycji funkcji, ο. Dla dowolnego g ∈ G otrzymujemy bijekcję

    F_g : T --> T

zadaną wzorem: F_g(t) := g ⋅ t ⋅ g^-1, dla dowolnego t ∈ T (jest to obcięcie automorfizmu wewnętrznego grupy G do zbioru T). Zachodzą wzory:

(i) F_e  =  Id_T
(ii) (F_g)^-1 = F_g^-1
(iii) F_h ο F_g = F_{h ο g}

(gdzie przez (F_g)^-1 rozumie się tu odwrotność F_g w Sym(T), względem kompozycji funkcji). Własności (i) (ii) (iii) oznaczają, że przyporządkowanie F :G --> Sym(T), dane wzorem:

    F : g |--> F_g

jest homomorfizmem grupy G w grupę Sym(T).

Uwaga 0 Powyższa własność (ii) wynika z kombinacji własności (i) i (iii).

Gdy T jest podgrupą normalną i przemienną grupy G, to F_t = Id_T dla dowolnego t ∈ T, czyli T jest zawarte w jądrze homomorfizmu F. Zatem F indukuje homomorfizm

    Φ : G/T --> Sym(T)

-- to znaczy, F = Φ ο π, gdzie π : G --> G/T jest homomorfizmem ilorazowym.

Dodatek: Grupy Inwolucji
===============================================

Grupa G, której każdy element jest inwolucją (jest rzędu 1 lub 2), jest abelowa. Nazwijmy więc jej element jednostkowy zerem, 0, a operację grupową dodawaniem, +. Jest jasnym, że G w sposób jednoznaczny dopuszcza strukturę przestrzeni wektorowej nad ciałem dwuelementowym. Taka grupa, czyli przestrzeń wektorowa nad ciałem 2-elementowym, ma bazę liniową B, co w przypadku skończonej grupy G oznacza, że jej rząd jest potęgą 2:

    |G| = 2^|B|

Oczywiście każda podgrupa grupy inwolucji, jak i grupa ilorazowa, sama jest grupą inwolucji, więc ma podobne własności; w szczególności jej rząd jest potęgą 2.