Charakteryzacja skończonych przestrzeni ostro 2-przechodnich (cz. II)

W poprzedniej notce:

Charakteryzacja skończonych przestrzeni ostro 2-przechodnich (cz. I)

zacząłem, a w niniejszej kontynuuję dowód afiniczności 1-wymiarowej dowolnej, skończonej przestrzeni ostro 2-przechodniej (X G).

Niniejsza notka jest kontynuacją poprzednich, z cyklu:

    Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy)

W szczególności zakładamy, że (X G) jest skończoną, n-punktową, ostro 2-przechodnią przestrzenią, oraz V(G) - zbiorem wszystkich permutacji z G, niemających punktu stałego; ponadto

        A(G) := V(G) ∪ {Id_X};
        Xif(a) := { g ∈ G : g(a) = a }   dla każdego  a ∈ X;
        O E ∈ X,   przy czym  O ≠ E.

=================================================
Lewostronna rozdzielność względem mnożenia przez 2
=================================================

W notce:

    Przestrzenie ostro 2-przechodnie. Cykle. Inwolucje. Przemienność wektorów (grupy A(G)).

rozpatrywałem dwa podejścia do dodawania dwóch różnych wektorów  v w, gdyż chodziło o dowod przemienności. Tym razem popatrzmy na przypadek  v=w  czyli  a=b,  gdzie  a=v(O)  oraz  b:=w(O);  ale tym razem mniejsza o obiekty  w b.  Rozważania o podwojeniu są nietrywialne tylko dla nieparzystego  n := |X|,  co odtąd w tym semencie tekstu o rozłączności względem mnożenia przez 2, zakładamy: niech  n  będzie nieparzyste.

Z jednej strony podwojony punkt  a+a  definiujemy jako  v(a),  gdzie  v  jest wektorem, spełniającym  v(O) = a.  Z drugiej strony chcielibyśmy, żeby podwojone  a  było punktem  j_a(O),  gdzie  j_a  jest nietrywialną inwolucją, spełniającą  j_a(a) = a.  Pokażę, że te dwie definicje podwojonego punktu dają ten sam wynik - udowodnię:

        j_a(O)  =  v(a)

Dowód:  Najpierw rozpatrzmy nietrywialną inwolucję  j_O, dla której punktem stałym jest punkt  O.  Wtedy:

        j_a  =  v o j_O o v^-1

jest nietrywialną inwolucją, której punktem stałym jest punkt  a := v(O).  Także inwolucją jest  v o j_O. Ponieważ:

        (v o j_O)(O)  =  a

to

        (v o j_O)(a)  =  O

Zatem:

    j_a(v(a))  =  (v o j_O o v^-1)(v(a)))  =  (v o j_O)(a)  =  O

więc

    j_a(O)  =  v(a)

KONIEC dowodu

Przejdźmy wreszcie do rozdzielności. Niech  r ∈ Xif(O)  oraz  a ∈ X.  Chcemy pokazać, że

        r(a + a)  =  r(a) + r(a)

DOWÓD:  Niech  j_a  będzie nietrywialną inwolucją, o punkcie stałym  a,  tak że

        a+a = j_a(O)

Wtedy


        j_r(a)  =  r o j_a o r^-1

jest nietrywialną inwolucją, o punkcie stałym  r(a).  Zatem


        j_r(a)(O)  =  r(a) + r(a)

Stąd:

    r(a) + r(a)  =  j_r(a)(O)  =  (r o j_a o r^-1)(O)  =  (r o j_a)(O)  =  r(a+a)

KONIEC dowodu

=================================================
Mnożenie  ⋅  w  X\{O}  jako operacja grupowa
=================================================

Wiemy z wcześniejszych rozważań ogólnych, że:

        M(G)  :=  { g|X\{O} : g ∈ Xif(O) }

jest ostro 1-przechodnią grupą permutacji zbioru  X\{O}.  Grupa ta jest izomorficzna z algebraiczną strukturą  (X\{O} ⋅),  zdefiniowaną w poprzedniej notce. Zatem grupą jest także struktura algebraiczna  (X\{O} ⋅).

=================================================
Rozdzielność dodawania względem mnożenia w X
=================================================

Niech  a b c ∈ X. Chcemy najpierw dowieść lewego prawa rozdzielności:

        a⋅(b + c)  =  a⋅b + a⋅c

Równość zachodzi dla  a=O. Załóżmy, że odtąd  a ≠ O,  oraz niech  r_a ∈ Xif(O)  spełnia 

        r_a(E)  =  a

Chcemy udowodnić równość:

        r_a(b+c)  =  r_a(b) + r_a(c)

Dla  b=c  uczyniliśmy to powyżej, w odcinku tekstu o rozdzielności względem mnożenia przez 2. Dla różnych  b c  dowiedliśmy tej rozdzielności w cz. I.

KONIEC dowodu

UWAGA 0  Przypominam, że rozdzielność dla b=c, przy parzystym  n, jest trywialna,  0=0.

(Będę kontynuować)