Przestrzenie ostro 2-przechodnie. Cykle. Inwolucje. Przemienność wektorów (grupy A(G)).

Niniejsza notka jest kontynuacją poprzednich, z cyklu:

    Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy)

W szczególności zakładamy, że (X G) jest skończoną, n-punktową, ostro 2-przechodnią przestrzenią, oraz V(G) - zbiorem wszystkich permutacji z G, niemających punktu stałego; ponadto

        A(G)  =  V(G) ∪ {Id_X}


============================
Cykle
============================

Niech  g ∈ G  będzie dowolne. Gdy g^t = Id_X, to długość cyklu każdego x ∈ X:

        (x g(x) ... g^s-1)

gdzie s jest najmniejszą liczbą naturalna (1 2 ...), dla której g^s(x) = x, jest podzielnikiem liczby t: zachodzi s|t.

Niech teraz  g ∈ G \ {Id_X}.  Wtedy istnieje najmniejsza liczba naturalna  t > 1,  i taka, że istnieje  a ∈ X,  spełniające:

        g^t(a)  =  a

Zatem Fix(g^t(a)) zawiera zbiór t-elementowy (cykl)

        { a g(a) ... g^t-1(a) }

Na mocy ostrości oznacza to, że  g^t = Id_X. Zatem, na mocy minimalności t,

długość każdego niejednopunktowego cyklu permutacji g jest równa t; gdy g nie jest identycznością, to co najwyżej jeden cykl może mieć długość różną od t - równą 1.

================================
Inwolucje
================================

Permutację g ∈ G nazywamy inwolucją ⇐:⇒ g o g = Id_X. Gdy g ≠ Id_X, to, na mocy ostatniego stwierdzenia powyżej, wszystkie cykle permutacji g są 2-puntowe, co najwyżej poza jednym. Oznacza to, że dla n parzystego każda inwolucja należy do A(G). Co więcej, dla n parzystego istnieje co najmniej n różnych inwolucji - rzeczywiście, ustalmy O ∈ X. Wtedy dla każdego  x ∈ X\{O}  dostajemy inwolucję  g  taką, że  g(O) = x  oraz  g(x) = O.  Jest ich n-1.  Ponadto dochodzi identyczność. Skoro tak, to dla parzystego n zachodzi równość

        Inv(G) = A(G)    (dla parzystego n)

Dla n nieparzystego rozpatrzmy dowolną nieidentycznościową inwolucję. Oznaczmy ją przez j_O, gdzie O jest jej jedynym punktem stałym, J_O(O) = O. Dla dowolnego a ∈ X wybierzmy dowolną permutację f ∈ G, spełniającą f(O) = a. Wtedy

        j_a  :=  f o j_O o f^-1

jest inwolucją, ktorej punktem stałym jest a. Otrzymaliśmy w ten sposób n różnych inwolucji nieidentycznościowych. Łącznie z Id_X jest ich n+1. Więcej ich nie ma. Rzeczywiście, dla każdej pary różnych punktów istnieje dokładnie jedna (nieidentycznościowa) inwolucja, która ją transponuje. Par istnieje dokładnie

        (n ## 2)  =  n ⋅ (n-1)/2

Przy tym każda nieidentycznościowa inwolucja, dla nieparzystego n, transponuje (n-1)/2 różnych par. Zatem takich inwolucji jest

        (n ## 2) / ((n-1)/2) = n

co łącznie z identycznością daje:

        |Inv(G)|  =  n+1

Z powyższego wynika, że w powyższym rozumowaniu różne dozwolone wybory  f  dawały tę samą inwolucje  j_a;  także dla  a = O.  Otrzymaliśmy też informację o strukturze zbioru  Inv(G),  w szczególności:

        f o j_a o f^-1 = j_a  dla każdego  f ∈ Xif(a)

Bowiem mamy po jednej involucji  j_a  w każdej podgrupie  Xif(a),  a ∈ X.

====================================================
Kompozycje inwolucji i wektorów
====================================================

Dla parzystego  n  dowiedziona wcześniej równość

        Inv(G) = A(G)    (dla parzystego n)

daje nam całą podstawową wiedzę na temat wektorów i inwolucji. Niech więc odtąd, w niniejszej części notki, liczba  n  bedzie nieparzysta.

Niech  s ∈ Inv(G) \ {Id_X}  będzie nietrywialną inwolucją; niech  a ∈ X,  oraz  b := s(a) ≠ a.  Istnieje wtedy (dokładnie jeden) wektor  v ∈ V(G),nbsp taki że  v(a) = b.  Oczywiście:

        (s o v)(a) = a

więc:

        ((s o v) o (s o v))(a) = a

Ale  s o v o s  jest wektorem (bo  s  jest swoją własną odwrotnością); więc także:

        (s o v) o (s o v) = (s o v o s) o v

jest wektorem (jako kompozycja dwóch wektorów). Jest to wektor tożsamościowy, bo ma punkt stały  a.  Zatem:

        (s o v) o (s o v) = Id_X

Innymi słowy,  kompozycja  s o v  jest inwolucją, s o v ∈ Inv(G).  Co więcej, znamy jej punkt stały:

        s o v = j_a  ∈  Xif(a) ∩ Inv(G)

lub pełniej:

        Xif(a) ∩ Inv(G)  =  {s o v}

Oznacza to, że z każdym punktem  a ∈ X\{O}  związany jest inny wektor  v ∈ V(G). Ponieważ  |X\{O}| = |V(G)| = n-1,  to w grę wchodzi każdy nietrywialny wektor. Otrzymaliśmy zatem już 99% natępującego twierdzenia:

TWIERDZENIE 0  Kompozycja  s o v,  oraz  v o s,  dowolnego wektora z dowolną inwolucją, jest inwolucją.

Jest tak oczywiście także dla wektora trywialnego  Id_X.  Czyli wiemy, że twierdzenie zachodzi dla wszystkich kompozycji  s o v.  Ale kompozycja  v o s  jest odwrotnością komppozycji  s o v^-1 czyli inwolucji (bo  v^-1  jest wektorem), a więc sama też jest inwolucją.  KONIEC dowodu

==================================
Przemienność wektorów
==================================

Następujące twierdzenie dowiedliśmy wcześniej dla parzystych  n:

TWIERDZENIE 1  w o v = v o w  dla dowolnych wektorów  v w ∈ A(G) - czyli grupa  A(G)  jest abelowa (dla skończonego  n := |X| = A(G) > 1;  nie wiem jak jest w przypadku nieskończonym).

DOWÓD  Skoro dla parzystych  n  twierdzenie zachodzi, to załóżmy, że  n  jest nieparzyste.

Niech  v w ∈ A(G)  będą dwoma różnymi wektorami. Niech  O ∈ X  będzie dowolne; oraz zdefiniujmy  a := v(O)  oraz  b := w(O). Więc  a b  są różne, i istnieje (dokładnie jedna) inwolucja  s,  transponująca  a b.  Zatem dla inwolucji  s o v  dostajemy:

        (s o v)(O) = b
        (s o v)(b) = O
        s((v o w)(O)) = O       (bo  b = w(O))
        s(O) = (v o w)(O)

Podobnie dowodzi się:

        s(O) = (w o v)(O)

Zatem dla wektorów  w o v  oraz  v o w  zachodzi równość:

        (v o w)(O)  =  (w o v)(O)

Skoro tak, to wektory te są równe:

        v o w  =  w o v

========================
UWAGI
========================

Twierdzenia 0 1  zachodzą dla dowolnych liczb naturalnych  n > 1,  zarówno dla parzystych, jak i dla nieparzystych. Przy tym dla parzystych, odkąd wiemy, że  Inv(G) = A(G)  (dla n - parzystych), twierdzenia te zachodzą trywialnie.

Także równość:

        s(O) = (v o w)(O)

gdzie  v w  są dwoma różnymi wektorami, oraz  punkt  wraz z inwolucją  s  mają własność:

        s(v(O)) = w(O)   (wię  s(w(O)) = v(O)) )

zachodzi zarówno dla nieparzystych  n (co dowiodłem), jak i dla parzystych  n (co jest trywialne, gdyż po prostu, i jednoznacznie:

        s = w o v = v o w

gdy  Inv(G) = A(G)).