Przestrzenie ostro k-przechodnie

Grupę wszystkich bijekcji zbioru X na siebie oznaczamy przez Sym(X).

Niech X będzie dowolnym zbiorem oraz k liczbą naturalną (1 2 ...). Podgrupę G grupy Sym(X) nazywamy ostro k-przechodnią (lub ostro k-tranzytywną), gdy dla każdych dwóch ciągów uporządkowanych (x₁ ... x_k) i (y₁ ... y_k), złożonych z różnych k elementów zbioru X -- t.zn.

    |{x₁ ... x_k}| = |{y₁ ... y_k}| = k

-- istnieje dokładnie jedno g ∈ G, takie że g(x_j) = y_j dla każdego j = 1 ... k. Przestrzenią ostro k-przechodnią nazywamy parę uporządkowaną (X G), złożoną ze zbioru X, o co najmniej k elementach, |X| ≥ k, i z ostro k-przechodniej grupy G w X.

Gdy zbiór X jest skończony, to dla n := |X| ≥ k rząd grupy G dany jest wzorem:

    |G|  =  n ⋅ (n-1) ⋅ ... ⋅ (n-k+1)  =  (n ## k) ⋅ k!

gdzie (n ## k) jest dwumianowym współczynnikiem Newtona.

UWAGA 0 Dodatkowo ciekawe rzeczy dzieją się, gdy ze zbiorem X związana jest dodatkowa struktura, na przykład geometryczna.


Punkty stałe i przestrzenie indukowane
======================================

Niech g : X --> X będzie dowolną funkcją. Wprowadźmy oznaczenie:

        Fix(g) := { x ∈ X : g(x) = x }

czyli Fix(g) jest zbiorem punktów stałych przekształcenia g. Ogólniej, dla dowolnego zbioru H przekształceń g : X --> X rozpatruje się też zbiór ich wspólnych punktów stałych:


        Fix(H) := { x ∈ X : ∀ _{g ∈ H} g(x) = x }

Niech teraz G będzie dowolną grupą bijekcji zbioru X na siebie. W duchu Galois, wprowadźmy pojęcia dualne:

        Xif_G(a) := { g ∈ G : g(a) = a }

oraz

        Xif_G(A) := { g ∈ G : ∀ _{a ∈ A} g(a) = a }

dla dowolnych a ∈ X oraz A ⊆ X. Widzimy, że:

        Fix(H) = ∩ _{g ∈ H} Fix(g)
        Xif_G(A) = ∩ _{a ∈ A} Xif_G(a)

więc na przykład:

        Xif_G(A ∪ B) = Xif_G(A) ∩ Xif_G(B)

Oczywiście Xif_G(a) oraz Xif_G(A) są podgrupami grupy Sym(X). Jeżeli g ∈ Sym(X), to:

    g o Xif_G(a) o g^-1 = Xif_G(g(a))
    g o Xif_G(A) o g^-1 = Xif_G(g(A))

dla a ∈ X, A ⊆ X, gdzie z definicji:

        g o H o g' := { g o h o g' : h ∈ H } dla H ⊆ Sym(X);
        g(A) := { g(x) : x ∈ A }

Odwzorowanią Fix i Xif_G są antymonotoniczne względem inkluzji. Ponadto zachodzą inkluzje domykania:

        Fix(Xif_G(A)) ⊇ A   dla każdego A ⊆ X
        Xif_G(Fix(H)) ⊇ H   dla każdego H ⊆ G

Ogólnie, tego typu dwie odpowiedniości antymonotoniczne i domykające algebraik A.G.Kurosz nazywał odpowiedniościami Galois. Zachodzi dla nich twierdzenie (mood improver):

        Xif_GFix(Xif_G(A))) = Xif_G(A)   dla każdego A ⊆ X
        Fix(Xif_G(Fix(H))) = Fix(H)   dla każdego H ⊆ G

Zdefiniujmy domknięcia zbiorowe i grupowe:

        Cls(A) := Fix(Xif_G(A))   dla każdego A ⊆ X
        Clg(H) := Xif_G(Fix(H))   dla każdego H ⊆ G

Mówimy, że A ⊆ X jest domknięte, gdy Cls(A) = A; oraz że H ⊆ G jest domknięte, gdy Clg(H) = H. Zatem Fix(H) i Xif(A) są domknięte odpowiednio w X i G dla dowolnego H ⊆ G i A ⊆ X. Ponadto zachodzą własności (aksjomaty) Kuratowskiego:

        A ⊆ Cls(A)   dla każdego A ⊆ X
        H ⊆ Clg(H)   dla każdego H ⊆ G

oraz:

        Cls(Cls(A)) = Cls(A)   dla każdego A ⊆ X
        Clg(Clg(H)) = Clg(H)   dla każdego H ⊆ G

UWAGA 1 Na ogół nie zachodzi dla powyższych operacji domknięcia krytyczny aksjomat Kuratowskiego, typu: Cl(K ∪ L) = Cl(K) ∪ Cl(L). Wynika z niego natychmiast monotoniczność:

        K ⊆ L   ==>   Cl(K) ⊆ Cl(L)

Jednak monotoniczność Cls oraz Clg i tak zachodzi, gdyż operacje te są kompozycją dwóch antymonotonicznych przekształceń FiX i Xif_G.


UWAGA 2 Dla zbioru pustego ∅ zachodzi:

        Fix(∅) = X   oraz   Xif_G(∅) = G

zgodnie zresztą z antymonotonicznością.

UWAGA 3 Gdybyśmy zajmowali się podstawami matematyki (logiką, teorią mnogości, ...), to należałoby pisać raczej Fix({g}) oraz Xif_G({a}) dla pojedynczych g ∈ G oraz a ∈ X, bo notacja Fix(g) oraz Xif(a) byłaby niebezpieczna, czasem byłaby dwuznaczna. Bowiem ogólnie ten sam obiekt może być jednocześnie elementem i podzbiorem tego samego zbioru X lub G.

---

Niech (X G) będzie n-elementową ostro k-przechodnią przestrzenią. Niech A będzie α-elementowym podzbiorem zbioru X, przy czym niech 0 < α < k. Wtedy

        H  :=  { g|X\A : g ∈ Xif_G(A) }

jest ostro (k-α)-przechodnią grupą permutacji w X\A, czyli (X\A H) jest (n-α)-punktową, ostro (k-α)-przechodnią przestrzenią. Zatem

    |H| = (n-α) ⋅ ... ⋅ (n-k+1) = (n-α ## k-α) ⋅ (k-α)!