Przestrzenie ostro 2-przechodnie. Wektory.

Opieram niniejszą notkę na poprzedniej: Przestrzenie ostro k-przechodnie (patrz też Homomorfizm indukowany przez zbiór niezmienniczy (...)). Będę opuszczał indeks dolny w Xif_G, na przykład pisząc po prostu Xif(O) zamiast Xif_G(O).

Niech (X G) będzie skończoną, n-elementową, ostro 2-przejściową przestrzenią, gdzie n ≥ 2. Wtedy grupa G jest następującą unią mnogościową:

        G = {Id_X} ∪ ∪({ Xif_O \ {Id_X}} : O ∈ X } ∪ V(G)

gdzie V(G) jest zbiorem wszystkich permutacji g ∈ G, które nie mają punktu stałego; będziemy te permutacje g ∈ V(G) nazywali (niezerowymi) wektorami.

Ponieważ zbiory Xif_O \ {Id_X} są parami rozłączne, oraz jest ich n, to ich unia liczy sobie n ⋅ (n-2) elementów. Zatem

        |V(G)| = n-1

oraz dla zbioru wszystkich wektorów, łącznie z zerowym Id_X, t.j. dla

        A(G) := V(G) ∪ {Id_X}

otrzymujemy:

        |A(G)| = n

Pokażę teraz, że dla dowolnych O E ∈ X istnieje (dokładnie jeden) wektor w ∈ A(G) taki, że w(O) = E. Rzeczywiście, gdy O = E, to twierdzenie jest trywialne (wektor jest zerowy, Id_X). Niech więc O ≠ E. Istnieje v ∈ V(G), gdyż n > 1. Niech P := v(O), więc P ≠ O. Istnieje więc (dokładnie jedna) permutacja g ∈ Xif(O) taka, że g(P) = E. Zdefiniujmy:

        w = g o v o g^-1.

Wtedy w jest wektorem (nietrywialnym, gdy v jest nietrywialnym), w ∈ V(G), oraz:

        w(O) = (g o v)(g^-1(O)) = (g o v)(O) = g(E) = p

Widzimy, że rzeczywiście dla dowolnych O E ∈ X istnieje wektor w ∈ A(G) taki, że w(O) = E. Przy tym dla ustalonego O istnieje takich wektorów co najmniej n (po jednym dla każdego E ∈ X). Ponieważ jest wszystkich wektorów dokładnie n, to dla każdego E ∈ X może istnieć co najwyżej jeden wektor w, spełniający w(O) = E. Zatem dla każdego E ∈ X istnieje dokładnie jeden wektor w ∈ A(G), taki że w(O) = E. Koniec dowodu.

Kulminacją powyższych rozważań jest następujący wynik (stosujemy wcześniejsze założenia i notację dotyczącą X G V(G) A(G)):

TWIERDZENIE 0 (X A(G)) jest ostro 1-przechodnią przestrzenią.

DOWÓD Wiemy, że |A(G)| = |X| = n, oraz że zbiór A(G) jest ostro 1-przechodni, w sensie:

        ∀ _{x y ∈ X} ∃! _{v ∈ A(G)} v(x) = y

gdzie symbol ∃! oznacza "istnieje dokładnie jeden". Pozostało dowieść, że A(G) jest podgrupą permutacji (grupy G).

(i) Id_X ∈ A(G) jest elementem neutralnym względem kompozycji (działania grupowego) - czyli jest tym co zwykle nazywa się jednością (lub zerem przy notacji addytywnej).

(ii) Niech v ∈ A(G). Wtedy permutacja odwrotna, v^-1, jest równa Id_X lub nie ma punktów stałych, tak jak v. W obu przypadkach v^-1 ∈ A(G).

(iii) Niech v w ∈ A(G). Jeżeli (w o v)(x) ≠ x dla każdego x ∈ X, to w o v ∈ A(G). W przeciwnym wypadku istnieje a ∈ X, spełniające (w o v)(a) = a. Oznacza to, że:

        w(v(a)) = a = v^-1(v(a)), gdzie v^-1 ∈ A(G).

Na mocy ostrości A(G): w = v^-1 czyli w o v = Id_X ∈ A(G). Koniec DOWODU