Ostra 2-tranzytywność grupy afinicznej ciała uogólnionego

Wstęp

Niniejsza nota dopełnia (jak druga strona medalu) wyniki not poprzednich, patrz

    Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy).

Chociaż dowody poniżej nie zależą od poprzednich not (poza podsumowaniem), to jednak notacja i terminologia pochodzi w dużej mnierze z wcześniejszych, więc warto rzucić na nie okiem. W sumie, scharakteryzowałem skończone ostro 2-przechodnie przestrzenie jako 1-wymiarowe przestrzenie afiniczne nad _ciałami uogólnionymi_ w sensie poniżej; nazywam takie uogólnione ciała _gildami_ (bo alfabetycznie po angielsku jesrt naturalnym mieć _gild_ po _field_ ). Pokazałem też, że dodawanie w gildach skończonych jest przemienne.

Definicja ciała uogólnionego, gild.

Niech

    K := (K + * Sub Div 0 1)

będzie uporządkowaną siódemką, złożoną ze zbioru K, operacji 2-argumentowej + w zbiorze K, operacji 2-argumentowej * w zbiorze K^# := K\{0}, operacji 1-argumentowej Sub w zbiorze K, 1-argumentowej Div w zbiorze K^#, oraz dwóch różnych elementów 0 1 zbioru K, gdzie:

    (K + 0)  jest grupą,
    (K# * 1)  jest grupą,

oraz zakładając (dodefiniowując):

        a*0 = 0*a = 0   dla każdego  a ∈ K

niech zachodzi własność lewej rozdzielności:

    a*(b+c) = a*b + a*c

(jak zwykle zakładamy, że * wiąże mocniej niż +). Wtedy uporządkowaną siódemkę K nazywamy ciałem uogólnionym lub krótko gild.

UWAGA 0: Nie zakładamy przemienności ani dodawania +, ani mnożenia *.

TWIERDZENIE 0      x * Sub(y)  =  Sub(x * y)

DOWÓD

    x*y + x*Sub(y)  =  x*(y + Sub(y))  =  x*0  =  0

KONIEC DOWODU

Przekształcenia afiniczne

Dla dowolnych a b ∈ K definiujemy przekształcenie afiniczne

        f  :=  fa b  : K → K

jak następuje:

        f(x) := a*x + b   dla dowolnego x ∈ K

Gdy a=0, to f jest funkcją stałą, równą b. Dla niezerowych a, przekształcenia afiniczne jest surjekcją, t.zn. dla dowolnego X ∈ K istnieje x ∈ K takie, że f(x) = X - rzeczywiście, jest tak dla:

        x := Div(a)*(X + Sub(b))

Co więcej, jest tak tylko dla tego jednego x, co wynika z procesu rozwiązywania równania f(x) = X. Można też sprawdzić jednoznaczność bez rozwiązywania równania tak -

    gdy  f(x') = f(x),  to  f(x') + Sub(f(x)) = 0,

czyli:

    a*(x' + Sub(x))  =  a*x' + a*Sub(x)

    =  a*x' + Sub(a*x)

    =  a*x' + b + Sub(b) + Sub(a*x)

    =  f(x') + Sub(f(x))  =  0

więc  x' +Sub(x) = 0,  skąd  x'=x.

Pokazaliśmy, że dla niezerowego współczynnika a przekształcenie afiniczne f jest bijekcją.

W szczególności bijekcją afiniczną jest  IdK:

        IdK(x) := 1*x + 0

Przekształcenie odwrotne

Widzieliśmy, że dla 0 ≠ a ∈ K, afiniczna równość daje się odwrócić:

    X = a*x + b   ⇔   x =   A*X + B

gdzie  A := Div(a)  oraz  B := Div(a) + Sub(b)

Oznacza to, że bijekcja g odwrotna do bijekcji afinicznej f jest afiniczna, gdzie

        g(x) := A*x + B
        g o f = f o g = IdK

Kompozycja przekształceń afinicznych

Niech dwa przekształcenia afiniczne będą dane wzorami:

        f(x) := a*x + b   oraz F(x) := A*x + B

gdzie  a b A B ∈ K  są dowolne. Wtedy:

    (F o f)(x) = F(a*x + b) = (A*a)*x + (A*b + B)

czyli kompozycja F o f też jest afiniczna. W szczególności dla bijekcji, w świetle ostatniego i poprzednich wyników, otrzymujemy:

TWIERDZENIE 1: Bijekcje afiniczne gildu K tworzą grupę względem operacji 2-argumentowej kompozycji przekształceń.

Ostra 2-przechodniość grupy afinicznej

Dla dowolnie ustalonych x y X Y ∈ K takich, że x ≠ y, znajdźmy wszystkie (o ile jakiekolwiek) pary a b ∈ K dla których zachodzą równości:

        X = a*x + b
        Y = a*y + b

czyli chodzi o rozwiązanie układu 2 równań z niewiadomymi a b. Wartości a b muszą spełniać:

    Y + Sub(X)  =  a*y + b + Sub(b) + Sub(a*x)

    =  a*y + Sub(a*x)  =  a*y + a*Sub(x)

    =  a*(y + Sub(x))

czyli

        a  :=  (Y + Sub(X))*Div(y + Sub(x))

jest jedyną możliwą wartością a (t.zn. każda inna jest zła). Skoro tak, to

        b  :=  Sub(a*x) + X

dla a zdefiniowanego jak przed chwilą, jest jedyną możliwą wartością b. To dowodzi 2-ostrości grupy afinicznej. Pozostała 2-przechodniość. Wystarczy sprawdzić, że podane wartości a b są poprawne:

    a*x + b  =  a*x + Sub(a*x) + X  =  X

- działa. Teraz:

    a*y + b  =  a*y + Sub(a*x) + X  =  a*(y + Sub(x)) + X

     =  (Y + Sub(X)) + X  =  Y

- działa. Udowodniliśmy:

TWIERDZENIE 2:  Grupa bijekcji afinicznych gildu  K  jest ostro 2-przechodnia.