Ogólniej, można wyobrazić sobie dwa takie poplątane kłębki. Czy da się jeden z nich tak przemieścić i zdeformować (znowu nie wolno rozrywać), by na koniec oba wyglądały tak samo, by się różniły tylko o przesunięcie równoległe (gdy jeden ze sznurków usuniemy, a drugim będziemy będziemy manipulować, to na koniec ma zająć miejsce tego usuniętego, ale dokładnie tak jakbyśmy widzieli ten poprzedni).
Sznurek, ze szczepionymi końcami, zafiksowany w przetrzeni, nazywamy węzłem.
Otrzymaliśmy pewną relację równoważności pomiędzy węzłami. Ogólniej, kłębek może zawierać nie jeden sznurek (czyli węzeł), lecz szereg rozłącznych sznurków. Zbiór w przestrzeni euklidesowej, który rozpada się na unię rozłącznych węzłów nazywa się linkiem. Dla linków stawia się pytania podobne jak dla węzłów. I właśnie takimi pytaniami, związanymi z rozplątywaniem linków, zajmuje się Teoria Węzłów i Linków. Na przykład znany jest klasyczny link, złożony z trzech "okręgów", z których żadne dwa nie są zahaczone, ale jednak tych trzech "okręgów" nie da się rozsunąć w przestrzeni tak, by znalazły się wewnątrz trzech, parami rozłącznych kul, każdy w swojej własnej kuli (lub żeby, co na jedno wychodzi, wylądowały na jednej, wspólnej płaszczyźnie, ale dalej te "okręgi" mają być parami rozłączne).
Dla pełniejszego i głębszego zrozumienia węzłów i linków wprowadźmy orientację czyli na każdym sznurku narysujmy strzałkę wzdłuż sznurka - można w jednym z dwóch istniejących kierunków. Narysowanie strzałki w dowolnym miejscu sznurka indukuje zgodną strzałkę w dowolnym jego miejscu (strzałka może wędrować wzdłuż sznurka). To jest właśnie orientacja sznurka. Odtąd możemy klasyfikować węzły i linki subtelniej, żądając zachowania kierunku strzałek.
Z miejsca otrzymujemy dwa rodzaje węzłów. Jedne można tak przekształcać, żeby otrzymać je z powrotem, ale ze strzałką zwróconą w przeciwnym kierunku. Na przykład taki jest okrąg. Możemy go obrócić w przestrzeni wokół jednej z jego średnic o 180 stopni. Wtedy okrąg najdzie na siebie, ale strzałka będzie wskazywać kierunek przeciwny (wzdłuż "sznurka"), a nie oryginalny. W przypadku pewnych innych węzłów jest to niemożliwe.
Pokrewnym pytaniem jest równaważność węzła i jego odbicia lustrzanego (nawet gdy nie obchodzi nas orientacja w sensie strzałki namalowanej na sznurku). Pewne węzły nie dają się przekształcić na swoje odicie lustrzane.
TERMINOLOGIA
Przypominam, że bijekcja jest tym samym, co odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne. Bijekcja zbioru skończonego na siebie nazywana jest permutacją.
Bijekcja (na przykład permutacja), która każdemu argumentowi przypisuje jego samego, nazywa się odwzorowaniem tożsamościowym lub po prostu tożsamością. Oznaczamy je [;I_E : E \rightarrow E;], więc [;I_E(x):=x;] dla każdego [;x\in E;].
CYKLE
Parę uporządkowaną [;(E\ \nu);], złożoną z niepustego zbioru skończonego [;E;] i permutacji [;\nu;] będziemy nazywać cyklem. Elementy zbioru [;E;] będziemy nazywać odcinkami. Gdy [;\nu(a)=b;] to odcinek [;b;] nazywamy następnym po [;a;], a odcinek [;a;] poprzednikiem odcinka [;b;].
Najprostszy cykl otrzymujemy, gdy zbiór odcinków [;E;] jest 1-elementowy (wtedy ten jedyny odcinek jest swoim własnym poprzednikiem i następnikiem).
Cykl [;(F\ \mu);] nazywamy podcyklem cyklu [;(E\ \nu);], gdy spełnione są dwa warunki
- [;F\subseteq E;]
- [;\mu = \nu\,|\,F;]
Cykl [;(E\ \nu);] nazywamy prostym, gdy nie zawiera żadnego podcyklu właściwego (t.j. różnego od siebie samego).
Dwa cykle (lub podcykle) nazywamy rozłącznymi, gdy nie mają wspólnego odcinka. Jest jasnym, że każdy cykl rozpada się jednoznacznie na parami rozłączne podcykle proste - jest to jedna z najwcześniejszych obserwacji (twierdzeń :-) teorii grup permutacji. To, że podstawą linków są permutacje, wskazuje na moźliwy silny związek teorii linków z teorią grup. Teoria linków jest wzbogaconą teorią grup permutacji. Jednak klasyczny, silnie rozwinięty główny głęboki związek teorii węzłów z teorią grup jest zupełnie inny, via grupę fundamentalną dopełnienia węzła w przestrzeni euklidesowej (są też inne).
PRZYKŁAD 0 Cykl [;(E\ I_E);] rozpada się na jednoodcinkowe cykle proste.
Cykl, którego wszystkie podcykle proste składają się z pojedynczego odcinka, nazywa się cyklem zredukowanym.
Izomorfizmem dwóch cykli [;(E\ \nu);] [;(F\ \mu);] nazywamy bijeckcję [;f : E \rightarrow F;] taką, że
[;f(\nu(x)) = \mu(f(x);]
dla każdego odcinka [;x\in E;]. Gdy dla dwóch cykli istnieje izomorfizm, to nazywamy je izomorficznymi. Przy izomorfiźmie podcykl prosty przechodzi na podcykl prosty, o tej samej liczbie odcinków; mówimy, że izomorfizm zachowuje rozkład na podcykle proste. Cykle izomorficzne rozpadają się na tę samą liczbę podcykli prostych (przy czym liczba odcinków w odpowiednich podcyklach jest ta sama).
Niech cykle [;(E\ \nu);] [;(F\ \mu);] oraz odcinek [;a\in E;], taki że [;\nu(a)\ne a;], będą następująco powiązane:
- [;F = E\backslash\{\nu(a)\};]
- [;\mu\,|\,G\backslash\{a\} = \nu\,|\,E\backslash\{a\ \nu(a)\} ;]
- [;\mu(a) = \nu(\nu(a));]
Wtedy mówimy, że cykl [;(F\ \mu);] jest prostą redukcją cyklu [;(E\ \nu);], a ten ostatni prostym rozszerzeniem poprzedniego (o odcinek [;\nu(a);].
Gdy cykl [;(F\ \mu);] można przedstawić jako wynik szeregu prostych redukcji, poczynając od cyklu [;(E\ \nu);], to cykl [;(F\ \mu);] nazywamy redukcją cyklu [;(E\ \nu);], a ten ostatni rozszerzeniem poprzedniego.
Niech podzbiór [;F;] zbioru [;E;] zawiera dokładnie po jednym odcinku z każdego cyklu prostego cyklu [;(E\ \nu;]. Wtedy cykl [;(E\ \nu);] redukuje się do cyklu [;(F\ I_E);] czyli każdy cykl redukuje się do cyklu zredukowanego. Tak więc dwa cykle są izomorficzne [;\Leftrightarrow;] redukują się do cykli zredukowanych, o tej samej liczbie odcinków.