Przypominam, że bijekcja jest tym samym, co odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne. Bijekcja zbioru skończonego na siebie nazywana jest permutacją.
Bijekcja (na przykład permutacja), która każdemu argumentowi przypisuje jego samego, nazywa się odwzorowaniem tożsamościowym lub po prostu tożsamością. Oznaczamy je [;I_E : E \rightarrow E;], więc [;I_E(x):=x;] dla każdego [;x\in E;].
CYKLE
Parę uporządkowaną [;(E\ \nu);], złożoną z niepustego zbioru skończonego [;E;] i permutacji [;\nu;] będziemy nazywać cyklem. Elementy zbioru [;E;] będziemy nazywać odcinkami. Gdy [;\nu(a)=b;] to odcinek [;b;] nazywamy następnym po [;a;], a odcinek [;a;] poprzednikiem odcinka [;b;].
Najprostszy cykl otrzymujemy, gdy zbiór odcinków [;E;] jest 1-elementowy (wtedy ten jedyny odcinek jest swoim własnym poprzednikiem i następnikiem).
Cykl [;(F\ \mu);] nazywamy podcyklem cyklu [;(E\ \nu);], gdy spełnione są dwa warunki
- [;F\subseteq E;]
- [;\mu = \nu\,|\,F;]
Cykl [;(E\ \nu);] nazywamy prostym, gdy nie zawiera żadnego podcyklu właściwego (t.j. różnego od siebie samego).
Dwa cykle (lub podcykle) nazywamy rozłącznymi, gdy nie mają wspólnego odcinka. Jest jasnym, że każdy cykl rozpada się jednoznacznie na parami rozłączne podcykle proste - jest to jedna z najwcześniejszych obserwacji (twierdzeń :-) teorii grup permutacji. To, że podstawą linków są permutacje, wskazuje na moźliwy silny związek teorii linków z teorią grup. Teoria linków jest wzbogaconą teorią grup permutacji. Jednak klasyczny, silnie rozwinięty główny głęboki związek teorii węzłów z teorią grup jest zupełnie inny, via grupę fundamentalną dopełnienia węzła w przestrzeni euklidesowej (są też inne).
PRZYKŁAD 0 Cykl [;(E\ I_E);] rozpada się na jednoodcinkowe cykle proste.
Cykl, którego wszystkie podcykle proste składają się z pojedynczego odcinka, nazywa się cyklem zredukowanym.
Izomorfizmem dwóch cykli [;(E\ \nu);] [;(F\ \mu);] nazywamy bijeckcję [;f : E \rightarrow F;] taką, że
[;f(\nu(x)) = \mu(f(x);]
dla każdego odcinka [;x\in E;]. Gdy dla dwóch cykli istnieje izomorfizm, to nazywamy je izomorficznymi. Przy izomorfiźmie podcykl prosty przechodzi na podcykl prosty, o tej samej liczbie odcinków; mówimy, że izomorfizm zachowuje rozkład na podcykle proste. Cykle izomorficzne rozpadają się na tę samą liczbę podcykli prostych (przy czym liczba odcinków w odpowiednich podcyklach jest ta sama).
Niech cykle [;(E\ \nu);] [;(F\ \mu);] oraz odcinek [;a\in E;], taki że [;\nu(a)\ne a;], będą następująco powiązane:
- [;F = E\backslash\{\nu(a)\};]
- [;\mu\,|\,G\backslash\{a\} = \nu\,|\,E\backslash\{a\ \nu(a)\} ;]
- [;\mu(a) = \nu(\nu(a));]
Wtedy mówimy, że cykl [;(F\ \mu);] jest prostą redukcją cyklu [;(E\ \nu);], a ten ostatni prostym rozszerzeniem poprzedniego (o odcinek [;\nu(a);].
Gdy cykl [;(F\ \mu);] można przedstawić jako wynik szeregu prostych redukcji, poczynając od cyklu [;(E\ \nu);], to cykl [;(F\ \mu);] nazywamy redukcją cyklu [;(E\ \nu);], a ten ostatni rozszerzeniem poprzedniego.
Niech podzbiór [;F;] zbioru [;E;] zawiera dokładnie po jednym odcinku z każdego cyklu prostego cyklu [;(E\ \nu;]. Wtedy cykl [;(E\ \nu);] redukuje się do cyklu [;(F\ I_E);] czyli każdy cykl redukuje się do cyklu zredukowanego. Tak więc dwa cykle są izomorficzne [;\Leftrightarrow;] redukują się do cykli zredukowanych, o tej samej liczbie odcinków.
No comments:
Post a Comment