LXII OM1

Termin nadsyłania: 4 października, 2010 r. - I seria

Zadanie konkursowe zawodów stopnia pierwszego:

1. Wyznaczyć wszystkie takie pary  [;(a\ b);]  liczb wymiernych dodatnich, że

[;\bullet\quad\quad\quad \sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{4 + \sqrt{7}} ;]

ROZWIĄZANIE

Podane równanie ma dokładnie te same rozwiązania  [;(a\ b);]  co równanie:

[;\bullet\quad\quad\quad a+2\cdot\sqrt{a\cdot b} + b = 4 + \sqrt{7} ;]

czyli

[;\bullet\quad\quad\quad 2\cdot\sqrt{a\cdot b} = t + \sqrt{7} ;]

gdzie  [; t := 4 - a - b;]  jest liczbą wymierną. Gdy równanie to jest spełnione, to:

[;\bullet\quad\quad 4\cdot a\cdot b = t^2 + 7 + 2\cdot t \cdot \sqrt{7} ;]

czyli  [;2\cdot t \cdot \sqrt{7};]  jest liczbą wymierną. Stąd  [;t = 0;]. Innymi słowy:

• [;a+b = 4 ;]


• [;a\cdot b = \frac{7}{4};]

Zatem:

[;\bullet\quad (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4\cdot a\cdot b = 9 ;]

skąd     [;\max(a\ b) - \min(a\ b) = 3;].     Ponieważ

[;\bullet\quad\quad\quad a+b = \max(a\ b) + \min(a\ b) ;]

to     [;\max(a\ b) = 7/2;]     i     [;\min(a\ b) = 1/2;].

I na odwrót, gdy para  [;(a\ b);]  spełnia ostatnie 2 równości, to spełnia równanie wyjściowe z tekstu zadania, bo spełnia podane, równoważne z nim:

[;\bullet\quad\quad\quad \frac{7}{2}+2\cdot\sqrt{\frac{7}{2}\cdot \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}\ \ =\ \ 4 + \sqrt{7} ;]

Zatem odpowiedź brzmi: podane równanie ma dokładnie dwie pary rozwiązań:

• [;(a\ b) = (\frac{7}{2}\ \ \frac{1}{2});]


• [;(a\ b) = (\frac{1}{2}\ \ \frac{7}{2});]