Zadanie konkursowe zawodów stopnia pierwszego:
3. W czworokącie wypukłym ABCD punkty M i N są odpowiednio środkami boków AB i CD, zaś przekątne przecinają się w punkcie E. Wykazać, że prosta zawierająca dwusieczną kąta BEC jest prostopadła do prostej MN wtedy i tylko wtedy, gdy AC = BD.
ROZWIĄZANIE
Potraktujmy płaszczyznę (euklidesową) jako płaszczyznę liczb zespolonych. Dzięki temu możemy stosować algebraiczną notację. Na przykład założenia o punktach M N można zapisać jako:
- M := (A + B) / 2
- N := (C + D) / 2
Niech A' C' będą takimi dowolnymi punktami prostej AC, że E leży pomiędzy A' C', oraz zachodzi równość:
Punkt przecięcia prostych A'C' i BD dalej jest tym samym punktem E. Także rozpatrywana w zadaniu dwusieczna jest dalej ta sama. Definiujemy nowe środki odcinków:
- M' := (A' + B) / 2
- N' := (C' + D tworzyć ten sam kąt) / 2
Oczywiście zachodzi równość:
Zatem prosta M'N' jest równoległa do prostej MN, i tworzy taki sam kąt z dwusieczną co prosta MN.
Teraz z kolei gdy także punkty B D zastąpić przez punkty B' D', leżące na prostej BD, tak że E leży pomiędzy B' i D', i spełniające równanie:
Da to nowe punkty M" N", będące środkami odcinków A'B' i C'D' odpowiednio. I znowu dwiusieczna będzie tworzyć ten sam kąt z M"N" co z MN.
Wybierzmy teraz A' B' C' D' jak wyżej, i tak, żeby E było środkiem A'C' oraz środkiem B'D'. Analitycznie możemy przyjąć:
- A' := E + (A-C)/2 oraz C' := E + (C-A)/2
- B' := E + (B-D)/2 oraz D' := E + (D-B)/2
Punkty A' B' C' D' są wierzchołkami równoległoboku, przy czym M"N" jest równoległe do B'C'. Dwusieczna kąta E trójkąta B'EC' jest prostopadła do podstawy B'C' <==> gdy boki EB' i EC' są równe:
implikacja <== jest oczywista, a implikacja ==> dana jest przez to, że każdy z boków EB' i EC' ma długość h/cos(E/2), gdzie E/2 jest kątem połówkowym w wierzchołku E, oraz h jest wysokością.
Z powyższej równoważności natychmiast wynika teza zadania.
KONIEC ROZWIĄZANIA
W przypadku niewypukłym czasem zamiast prostopadłości mamy równoległość.
No comments:
Post a Comment