LXII OM2

Termin nadsyłania: 4 października, 2010 r. - I seria

Zadanie konkursowe zawodów stopnia pierwszego:

2. Dane są liczby całkowite dodatnie  [;m\ n;]  oraz  [;d;].  Udowodnić, że jeżeli liczby  [;m^2\cdot n + 1;]  oraz  [;m\cdot n^2+1;]  są podzielne przez  [;d;],  to również liczby  [;m^3+1;]  i  [;n^3+1;]  są podzielne przez  [;d;].

ROZWIĄZANIE

Z założenia wynika, że

[;\bullet\quad d\ |\ (m^2\cdot n + 1) - (m\cdot n^2+1) = m\cdot n\cdot(m-n);]

ponieważ  [;d;]  jest względnie pierwsze z  [;m\cdot n;],  to

[;\bullet\quad\quad\quad d\ |\ m-n;]

Zatem:

[;\bullet\quad m^3+1 = (m^2\cdot n + 1) + m^2\cdot (m-n);]

jest podzielne przez  [;d;].  Podobnie podzielne przez  [;d;]  jest  [;n^3+1;]  (role  [;m\ n;]  są symetryczne).