Nieskończoność w logice matematycznej

Nieskończoność (potencjalna) metateorii jest w swojej naturze czymś fizycznym. Jest to część świata materialnego, przynajmniej według naszej interpretacji.

W samej logice, nieskończoności większość autorów nie wprowadza, dopiero czyni to przy okazji matematyki: arytmetyki lub - najczęściej - teorii mnogości. Ale na przykład logik Stephen Cole Kleene wolał z miejsca zanurzyć teorię liczb naturalnych, a więc także nieskończoność, w logice. Czyni się to następująco:

Predykat Nat(x) oznacza, że x jest liczbą naturalna (co może być prawdą lub fałszem, w zależności od tego co za x podstawimy). Wprowadza się do teorii stałą 1 oraz konstrukcję syntaktyczną Nxt(x) - to nie jest predykat, lecz w wyniku aksjomatów to będzie funkcja następnika x+1 liczby naturalnej x. Następnie do logiki wklucza się kilka dodatkowych, specjalnych aksjomatów, w tym aksjomaty Peano (wyrażenie =' oznacza "nierówne"):

(i) Nat(1)
(ii) Nat(x) to Nat(Nxt(x))
(iii) x=y to Nxt(x) = Nxt(y)
(iv) Nxt(x) = Nxt(y) to x=y
(v) Nat(x) to Nxt(x) =' 1
(vi) x =' 1 to EXISTS y ( Nxt(y) = x)

(VII) Dla każdego predykatu T(x) zachodzi następujący aksjomat vii_T (zapisany dla przejrzystości w trzech linijkach):

    (T(1) AND FORALL x ((Nat(x) AND T(x)) to T(Nxt(x))))

            to

                        FORALL x (T(x))

Tak więc mamy nieskończenie wiele aksjomatów vii_T ,  które łącznie dają schemat aksjomatyczny zwany aksjomatem indukcji matematycznej. Zdaje się, że chociaż sama nieskończoność niby nie wymaga nieskończonego schematu aksjomatów, to wymaga go teoria, w której ta nieskończoność żyje i ma sens. Tak jest w przypadku teorii liczb naturalnych, i tak jest także z teorią mnogości. Bez nieskończonych schematów teorie, mimo dopuszczenia nieskończoności, byłyby dosyć płytkie i ograniczone (pustawe).

Znaczenie powyższych aksjomatów jest następujące: operacja Nxt pozwala nam w nieskończoność iść do przodu. Aksjomat (v) mówi, że nie kręcimy się w kółko (co mogłoby sytuację uczynić skończoną). Indukcja (VII) mówi, że zbiór wszystkich liczb naturalnych tworzy (spójną jakby) ścieżkę, zaczynająca się od 1, krok po kroku zawierającą wszystkie liczby naturalne:

        1   Nxt(1)   Nxt(Nxt(1))   Nxt(Nxt(Nxt(1))) ...

Innych liczb naturalnych, według aksjomatu indukcji, nie ma. Czyli, dla uzyskania nieskończoności, aksjomatu indukcji nie potrzebujemy. Potrzebujemy go dla rozwinięcia teorii głębokiej.

Co prawda sytuacja jest subtelna. W sensie metateoretycznym możemy twierdzić, że uzyskaliśmy konstrukcję nieskonczona. Jest to oczywiste. Ale bez indukcji nie możemy dowieść, że tak naprawdę jest, bowiem nie możemy pokazać, że z czasem, poczynająć od 1, nie zaczneimy się kręcić w kółko - należy dowieść, że x jest różne na przykład od Nxt(Nxt(Nxt(x))). Jest to "materialnie" oczywiste dla nieskończonego podzbioru "liczb naturalnych" (bezindukcyjnych), ale nie mamy tego jak pokazać bez indukcji matematycznej (lub podobnego schematu), bo nawet Nxt(x) = x dla pewnych x może zachodzić, gdy indukcji się nie założy.

UWAGA: W metamatematyce, nawet bez indukcji matematycznej, i tak stosuje się to, co Profesor Andrzej Mostowski nazywał przesłanką indukcyjną. Chodzi o to, że predykaty i inne wyrażenia buduje się rekursyjnie (indukcyjnie). Kończy się konstrukcje takich wyrażeń aksjomatem: innych wyrażeń naszego (właśnie definiowanego) typu, poza wyżej podanymi, nie ma. To właśnie pozwala na dowody indukcukcyjne, tak powszechne także w informatyce.