Nieskończoność w teorii mnogości

Wstęp

Definicje nieskończoności są w teorii mnogości przede wszystkim dwóch rodzajów: albo wprowadzają uporządkowanie, względem którego nie ma elementu naj (największego lub najmniejszego), albo w duchu Cantora mówią nam, że całość może być równoważna swojej części.

Pojawia się też nieskończoność świeżo w ogólnej topologii, ale to już jednak jest materiał na następny post.

NOTACJA  i  TERMINOLOGIA

Przyda nam się niewielki słowniczek pojęć:

• Iniekcja - jest to funkcja [;f : X \rightarrow Y;], która każde dwa różne argumenty odwzorowuje w różne wartości, czyli spełnia warunek:
  
  [;*\quad\quad\forall_{\,x'\,x''\in X}\ \left(f(x')=f(x'')\ \Rightarrow\ x'=x''\right);]
  
  (można skracać przez [;f;]).


• Surjekcja - jest to funkcja [;f : X \rightarrow Y;], która odwzorowuje [;X;] na całe [;Y;], czyli spełnia warunek:
  
  [;*\quad\quad\forall_{\,y\in Y}\,\exists_{\,x\in X}\ f(x) = y;]
  


• Bijekcja - jest to funkcja [;f : X \rightarrow Y;], która jednocześnie jest iniekcją i surjekcją.


• Relacja - w niniejszej nocie relacją w zbiorze [;X;] nazywamy dowolny podzbiór [;M\subseteq X^2;] kwadratu kartezjańskiego [;X^2 := X\times X;]. Dla relacji często zamiast
  
  [;*\quad\quad (x\ y)\ \in\ M;]
  
  piszemy
  
  [;*\quad\quad x\,M\,y;]
  
  
• Element prawy - Elementem prawym relacji [;M;] w [;X;] nazywamy każdy element [;x\in X;], dla którego nie istnieje [;y\in X;], spełniające:
  
  [;*\quad\quad x\,M\,y;]
  
  
• Element lewy - Elementem prawym relacji [;M;] w [;X;] nazywamy każdy element [;x\in X;], dla którego nie istnieje [;y\in X;], spełniające:
  
  [;*\quad\quad y\,M\,x;]
  
  
• Relacja przechodnia - relację [;M;] w [;X;] nazywamy przechodnią [;\Leftarrow:\Rightarrow;]
  
  [;*\quad\quad \forall_{x\,y\,z\,\in X}\ \left(\left(x\,M\,y\quad\&\quad y\,M\,z\right)\quad\Rightarrow \quad x\,M\,z\right);]
  
  W przypadku relacji przechodniej elementy prawe nazywamy często maksymalnymi, a elementy lewe - minimalnymi. Relacje przechodnie oznaczamy często symbolami typu [;<;] lub [;\le;]. W przypadku symboli typu odwróconego, jak [;>;], umawiamy się na opak, że prawe elementy są minimalne, a lewe - maksymalne (zwłaszcza, gdy relacja [;>;] jest odwrotnością relacji [;<;]).


• Relacja antysymetryczna - relację [;M;] w [;X;] nazywamy antysymetryczną [;\Leftarrow:\Rightarrow;] nie istnieje żadna para elementów  [;x\,y\in M;], spełniająca oba warunki: [;x\,M\,y\quad\&\quad y\,M\,x;].


• Porządek ostry - relację [;M;] w [;X;] nazywamy (częściowym) porządkiem ostrym [;\Leftarrow:\Rightarrow;] [;M;] jest przechodnie i antysymetryczne.

Mnogościowa charakteryzacja nieskończoności

Następujące własności zbioru X są równoważne. Zbiór X, z definicji, jest nieskończony [;\Leftarrow:\Rightarrow;] X posiada dowolną (a więc wszystkie) z następujących równoważnych własności:

1. Istnieje niepusta rodzina S podzbiorów zbioru X, taka że dla każdego zbioru A, należącego do S, istnieje zbiór B, należący do S\{A}, taki że B zawiera A - takie S nie ma elementu maksymalnego.


2. Istnieje niepusta rodzina S podzbiorów zbioru X, taka że dla każdego zbioru A. należącego do S, istnieje zbiór B, należący do S\{A}, taki że A zawiera B - takie S nie ma elementu minimalnego.


3. Istnieje iniekcja [;f : X\rightarrow X;], które nie jest surjekcją.


4. Istnieje surjekcja [;f : X \rightarrow Y;], która nie jest iniekcją.
   
5. Istnieje niepusty porządek ostry [;M;] w [;X;], nieposiadająca elementu prawego (tj. maksymalnego).


6. Istnieje niepusty porządek ostry [;M;] w [;X;], nieposiadający elementu lewego (tj. minimalnego).


7. Istnieje niepusta rodzina S niepustych podzbiorów zbioru X, taka że z jednej strony jej przecięcie jest puste, a z drugiej przecięcie dowolnych dwóch jej elementów zawiera inny element tejże rodziny S.


8. Istnieje rodzina S podzbiorów zbioru X, różnych od X, i taka że z jednej strony jej unia jest całym X, a z drugiej unia dowolnych dwóch jej elementów jest zawarta w innym elemencie tejże rodziny S.

Warunki dotyczące rodziny podzbiorów S są pokrewne warunkom dotyczących ostrego porządku. Gdy się chwilę zastanowić, to także warunek dotyczący iniekcji jest im pokrewny. Warunek dotyczący surjekcji jest równoważny warunkowi dotyczącemu iniekcji ze względu na aksjomat wyboru.

We własnościach, w których występuje istnienie ostrego porządku, można było żądać, żeby taka relacja istniała w podzbiorze. Wtedy podzbiór byłby nieskończony, a więc także cały zbiór (takie oczywiste "a więc" należy w matematyce uzasadniać). Równoważność takich wariacji z podanymi warunkami wymaga umiejętności przedłużania porządku z podzbioru na całość, co czyni się z pomocą aksjomatu wyboru (lub przynajmmniej pewnej jego osłabionej wersji).

Analogi warunków w terminach iniekcji i surjekcji można z łatwością sformułować w dowolnej kategorii - wystarczy te terminy zastąpić przez monomorfizm i epimorfizm. Daje to atrakcyjne podejście do nieskończoności w dowolnych kategoriach. Podobnie można postąpić w przypadku rodziny podzbiorów S - w kategoriach ogólnych można mówić o rodinie podobiektów. Trudniej o przeniesienie na kategorie ogólne relacji ostrego porządku.