Pierwszy kontakt z nieskończonością

Przede wszystkim nieskończoność występuje w metamatematyce. Po prostu mamy potencjalnie nieskończenie wiele różnych zapisów, w szczególności predykatów, gdzie predykat rozumiem w sensie logiki matematycznej. Poświęcę temu kilka słów.

Niektórzy autorzy, definiując teorię matematyczną, zaczynają od tego, że ma nieskończony alfabet, po czym dają przykład:

    x x' x'' x''' ...

Wolałbym, żeby zbioru tak złożonych wyrażeń, jak x'''', nie nazywali alfabetem. Prawdziwa teoria powinna zaczynać od skończonego zbioru znaków, przy tym niewielkiego, łatwego do ogarnięcia wzrokiem, tak by każde dwa różne znaki można było z łatwościę odróżnić. Można na przykład, przynajmniej celem ścisłego wprowadzenia danej teorii, do zbioru znaków wyjściowych zaliczyć 26 liter małych i 26 dużych alfabetu angielskiego, cyfry dziesiętne 0 ... 9, nawiasy ( ), prim ', oraz ' + - * =. Razem powiedzmy 60 znaków (teoretycznie dwa wystarczyłyby). Dopiero na następnym etapie buduje się wyrażenia oznaczające na przykład zmienne, jak wymienione wyrażenia: x x' x'' x''' ... (które kolejno składają się z 1 2 3 ... znaków - nie są pojedynczymi znakami). Można mieć też konstrukcje definiujące nowe pojęcia, jak powiedzmy SUMA, których syntaks znowu używa podane wyjściowe znaki (tu: A M S U).

UWAGA 0: Odstęp  " "  należy do metateorii (nie jest znakiem teorii). W każdym razie możemy tak się rozsądnie umówić.

UWAGA 1: Można teorię stworzyć dla komputera, żeby komputer ją uprawiał. Znowu wyjściowych "znaków" powinno być skończenie wiele, i powinny być łatwo przez komputer rozróżniane. Z tego powodu stosuje się tylko dwa znaki wewnątrz komputera, o których ludzie na ogół mówią 0 oraz 1. Próbowano więcej "znaków", ale z powodów technologicznych wtedy kłopoty z błędami tak wzrastały, że w zasadzie z tych prób zrezygnowano, prawie.

---

Kilka słów o predykatach: są to ciągi znaków (struny czyli po angielsku strings), w których jednoznacznie można wyróżnić zmienne (jeżeli występują). Gdy za zmienne podstawimy konkretne wartości stałe, to powinniśmy otrzymać zdanie (w sensie formalnej definicji danej teorii), czyli coś, co jest albo prawdziwe albo fałszywe. Czyli predykat jest funkcją logiczną, której wartościami są Prawda i Fałsz. Na przykład słynny jest predykat Fermata, z jego tak zwanego Ostatniego Twierdzenia:

    EXP(x n) + EXP(y n) = EXP(z n)

gdzie EXP(a b) oznacza [;a^b;], ale dla ilustracji chciałem się ograniczyć do wcześniej wspomnianych 60 znaków. Fermat wyraził przypuszczenie, że ten predykat jest zawsze fałszywy, gdy x y z n są liczbami naturalnymi 1 2 ..., takimi że n > 2. Dowód zajął ponad trzysta lat.