Nieskończoność w topologii ogólnej

Przestrzenie topologiczne i T₁-przestrzenie

Rodzinę [;\mathbf F;] podzbiorów zbioru [;X;] nazywam fermologią, gdy spełnia następujące warunki:

1. Jeżeli  [;\emptyset \ne \mathbf{H}\subseteq \mathbf{F};],  to   [;\cap \mathbf{H}\in\mathbf{F};].


2. [;\forall_{\,A\,B\,\in\,\mathbf{F}}\ A\cup B\,\in\,\mathbf{F};]


3. [;\emptyset\ X\,\in \mathbf{F};]

Parę  [;(X\ \mathbf{F});],  gdzie [;\mathbf{F};] jest fermologią w [;X;], nazywamy przestrzenią topologiczną. Zbiory należące do [;\mathbf{F};] nazywamy domkniętymi. Jeżeli w przestrzeni topologicznej  [;(X\ \mathbf{F});]  każdy jednoelementowy podzbiór zbioru [;X;] jest domknięty to taką przestrzeń nazywamy T₁-przestrzenią, a jej fermologię T₁-fermologią.

Dowolną przestrzeń topologiczną  [;(X\ \mathbf{F});]  nazywamy dyskretną, a jej fermologię też dyskretną, gdy  [;\mathbf{F};]  jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru  [;X;]. Jest tak   [;\Leftarrow:\Rightarrow\quad\forall_{\,x\in X}\, X\backslash\{x\}\in\mathbf{F};]. Gdy przestrzeń lub fermologia nie jest dyskretna, to mówimy, że jest niedyskretna.

TWIERDZENIE 0  Zbiór X jest nieskończony [;\Leftarrow:\Rightarrow;] istnieje w X T₁-fermologia niedyskretna.

Zauważmy jeszcze, że przecięcie wszystkich T₁-fermologii w zbiorze X jest T₁-fermologią w X. Taka fermologia nazywana jest najsłabszą T₁-fermologią w X. Jeżeli w X istnieje niedyskretna T₁-fermologia, to będzie nią także ta najsłabsza.

Zbiory gęste

Zbiór [;A\subseteq X;] nazywamy gęstym w przestrzeni topologicznej   [;\Leftarrow:\Rightarrow\quad X;] jest jedynym zbiorem domkniętym, zawierającym [;A;].

TWIERDZENIE 1  Zbiór X jest nieskończony [;\Leftarrow:\Rightarrow;] istnieje w X taka T₁-fermologia, że w powstalej przestrzeni topologicznej istnieje podzbiór gęsty, różny od X.

Powyższe twierdzenie brzmi różnie od poprzedniego, ale gdy mu się przyjrzeć, to różnicy istotnej nie ma. Chodzi o to, że w zakresie T₁-fermologii, niedyskretne pokrywają się z tym, które dopuszczają podzbiór gęsty, różny od całego zbioru X.

Przestrzenie spójne

Przestrzeń topologiczną  [;(X\ \mathbf{F});]  nazywamy spójną [;\Leftarrow:\Rightarrow;] dopełnienie [;X\backslash A;] dowolnego niepustego zbioru domkniętego [;A;], różnego od [;X;], nie jest domknięte.

TWIERDZENIE 2  Zbiór [;X;] jest nieskończony   [;\Leftarrow:\Rightarrow\quad X;] ma co najmniej dwa różne elementy oraz istnieje w [;X;] taka T₁-fermologia, że powstała przestrzeń topologiczna jest spójna.

Tym razem dla nieskończonego [;X;] rodzina T₁-fermologii dających przestrzeń spójną różni się od rodziny wszystkich niedyskretnych (jest mniejsza). Wciąż jednak wystarczy sprawdzić T₁-fermologię najsłabszą.

Uwaga końcowa

Powyższe wyniki są rozbrajająco proste i naiwne. Celem tej notki było przede wszystkim wzbudzenie zainteresowania topologia, i dania powodu przynajmniej do zapamiętania pojęć jak zbiory domknięte, gęste, oraz spójność. Ta ostatnia ma już charakter geometryczny.