W poprzedniej notce:
Charakteryzacja skończonych przestrzeni ostro 2-przechodnich (cz. I)
zacząłem, a w niniejszej kontynuuję dowód afiniczności 1-wymiarowej dowolnej, skończonej przestrzeni ostro 2-przechodniej (X G).
Niniejsza notka jest kontynuacją poprzednich, z cyklu:
Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy)
W szczególności zakładamy, że (X G) jest skończoną, n-punktową, ostro 2-przechodnią przestrzenią, oraz V(G) - zbiorem wszystkich permutacji z G, niemających punktu stałego; ponadto
A(G) := V(G) ∪ {IdX};
Xif(a) := { g ∈ G : g(a) = a } dla każdego a ∈ X;
O E ∈ X, przy czym O ≠ E.
=================================================
Lewostronna rozdzielność względem mnożenia przez 2
=================================================
W notce:
Przestrzenie ostro 2-przechodnie. Cykle. Inwolucje. Przemienność wektorów (grupy A(G)).
rozpatrywałem dwa podejścia do dodawania dwóch różnych wektorów v w, gdyż chodziło o dowod przemienności. Tym razem popatrzmy na przypadek v=w czyli a=b, gdzie a=v(O) oraz b:=w(O); ale tym razem mniejsza o obiekty w b. Rozważania o podwojeniu są nietrywialne tylko dla nieparzystego n := |X|, co odtąd w tym semencie tekstu o rozłączności względem mnożenia przez 2, zakładamy: niech n będzie nieparzyste.
Z jednej strony podwojony punkt a+a definiujemy jako v(a), gdzie v jest wektorem, spełniającym v(O) = a. Z drugiej strony chcielibyśmy, żeby podwojone a było punktem ja(O), gdzie ja jest nietrywialną inwolucją, spełniającą ja(a) = a. Pokażę, że te dwie definicje podwojonego punktu dają ten sam wynik - udowodnię:
ja(O) = v(a)
Dowód: Najpierw rozpatrzmy nietrywialną inwolucję jO, dla której punktem stałym jest punkt O. Wtedy:
ja = v o jO o v-1
jest nietrywialną inwolucją, której punktem stałym jest punkt a := v(O). Także inwolucją jest v o jO. Ponieważ:
(v o jO)(O) = a
to
(v o jO)(a) = O
Zatem:
ja(v(a)) = (v o jO o v-1)(v(a))) = (v o jO)(a) = O
więc
ja(O) = v(a)
KONIEC dowodu
Przejdźmy wreszcie do rozdzielności. Niech r ∈ Xif(O) oraz a ∈ X. Chcemy pokazać, że
r(a + a) = r(a) + r(a)
DOWÓD: Niech ja będzie nietrywialną inwolucją, o punkcie stałym a, tak że
a+a = ja(O)
Wtedy
jr(a) = r o ja o r-1
jest nietrywialną inwolucją, o punkcie stałym r(a). Zatem
jr(a)(O) = r(a) + r(a)
Stąd:
r(a) + r(a) = jr(a)(O) = (r o ja o r-1)(O) = (r o ja)(O) = r(a+a)
KONIEC dowodu
=================================================
Mnożenie ⋅ w X\{O} jako operacja grupowa
=================================================
Wiemy z wcześniejszych rozważań ogólnych, że:
M(G) := { g|X\{O} : g ∈ Xif(O) }
jest ostro 1-przechodnią grupą permutacji zbioru X\{O}. Grupa ta jest izomorficzna z algebraiczną strukturą (X\{O} ⋅), zdefiniowaną w poprzedniej notce. Zatem grupą jest także struktura algebraiczna (X\{O} ⋅).
=================================================
Rozdzielność dodawania względem mnożenia w X
=================================================
Niech a b c ∈ X. Chcemy najpierw dowieść lewego prawa rozdzielności:
a⋅(b + c) = a⋅b + a⋅c
Równość zachodzi dla a=O. Załóżmy, że odtąd a ≠ O, oraz niech ra ∈ Xif(O) spełnia
ra(E) = a
Chcemy udowodnić równość:
ra(b+c) = ra(b) + ra(c)
Dla b=c uczyniliśmy to powyżej, w odcinku tekstu o rozdzielności względem mnożenia przez 2. Dla różnych b c dowiedliśmy tej rozdzielności w cz. I.
KONIEC dowodu
UWAGA 0 Przypominam, że rozdzielność dla b=c, przy parzystym n, jest trywialna, 0=0.
(Będę kontynuować)
Saturday, April 17, 2010
Wednesday, April 14, 2010
Charakteryzacja skończonych przestrzeni ostro 2-przechodnich (cz. I)
Pokażę (w tej i następnej notce), że każda skończona, n-punktowa przestrzeń ostro 2-przechodnia (X G) jest zbiorem elementów pewnego ciała skończonego, wraz z jego grupą przekształceń afinicznych (traktujemy ciało jako 1-wymiarową przestrzeń afiniczną).
Niniejsza notka jest kontynuacją poprzednich, z cyklu:
Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy)
W szczególności zakładamy, że (X G) jest skończoną, n-punktową, ostro 2-przechodnią przestrzenią, oraz V(G) - zbiorem wszystkich permutacji z G, niemających punktu stałego; ponadto
A(G) := V(G) ∪ {IdX}
Xif(a) := { g ∈ G : g(a) = a } dla każdego a ∈ X
==========================================
Lewostronna rozdzielność
==========================================
Niech O ∈ X, r ∈ Xif(O), oraz niech v w ∈ A(G) będą dwoma różnymi wektorami. Ponadto wprowadźmy punkty a b A B oraz involucje s S ∈ Inv(G), takie że:
a := v(O)
b := w(O)
s(a) := b (zatem także s(b) := a)
A := r(a)
B := r(b) (punkty A B są różne)
S(A) := B (zatem także S(B) := A)
Zachodzi wtedy, jak pokażę poniżej, następująca rozdzielność:
S(O) = (r o s)(O)
Jest to rozdzielność, gdyż lewa strona S(O) gra rolę A+B = r(a)+r(b), oraz prawa strona (r o s)(O) gra rolę r(a+b). Otrzymujemy zatem równość: r(a+b) = r(a) + r(b). Więcej o tym napiszę w dalszej części niniejszej notki.
DOWÓD (powyższej rozdzielności) Oczywiście:
(r o s o r-1)(A) = B oraz (r o s o r-1)(B) = A
Zatem:
S = r o s o r-1
Ponadto:
A = V(O) dla wektora V := r o v o r-1
B = W(O) dla wektora W := r o w o r-1
Zgodnie z wynikiem z poprzedniej notki (o przemienności wektorów):
S(O) = (V o W)(O) = ((r o v o r-1) o (r o w o r-1))(O)
= (r o v o w o r-1)(O) = (r o v o w)(O) = (r o s)(O)
KONIEC dowodu (powyższej rozdzielności)
=========================================================
Definicja struktury ciała w przestrzeni ostro 2-przechodniej
=========================================================
Niech O E ∈ X będą dwoma różnymi punktami. Zdefinijmy, dla dowolnych a b ∈ X, gdzie a ≠ O, permutacje adb ∈ A(G) oraz mpa ∈ Xif(a) jako (jedyne!) spełniające równości:
adb(O) := b
mpa(E) := a
oraz dodatkowo definiujemy mpO jako funkcję X w siebie, tożsamościowo równą O:
mpO(x) := O dla każdego x ∈ X
W szczególności:
adO = IdX = mpE
Z pomocą dwóch właśnie wprowadzonych funkcji dodawania stałej oraz mnożenia przez stałą, pełne 2-argumentowe dodawanie i mnożenie definiujemy następująco:
x + y := adx(y)
x ⋅ y := mpx(y)
dla dowolnych x y ∈ X.
Struktura ostro 1-przechodniej grupy A(G) przenosi się izomorficznie na X poprzez bijekcję zbiorów X A(G), daną przez:
x ↦ adx dla x ∈ X
Jest to szczególny przypadek ogólnego twierdzenia (obserwacji) o grupach ostro 1-przechodnich (zachodzi zarówno w przypadku skończonym jak i nieskończonym), ale dla spokoju ducha podam dowód. Wystarczy pokazać, że podana bijekcja jest izomorfizmem struktur algebraicznych (A(G) o) oraz (X +). W tym celu porównajmy wektor ada+b z wektorem ada o adb. Oba odwzorowują (jako wektory-permutacje) element O w element a+b. Jest to więc ten sam wektor. Ponieważ struktura algebraiczna (A(G) o) jest grupą, a struktura algebraiczna (X +) jest z nią izomorficzna, to grupą jest także struktura algebraiczna (X +).
Niniejsza notka jest kontynuacją poprzednich, z cyklu:
Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy)
W szczególności zakładamy, że (X G) jest skończoną, n-punktową, ostro 2-przechodnią przestrzenią, oraz V(G) - zbiorem wszystkich permutacji z G, niemających punktu stałego; ponadto
A(G) := V(G) ∪ {IdX}
Xif(a) := { g ∈ G : g(a) = a } dla każdego a ∈ X
==========================================
Lewostronna rozdzielność
==========================================
Niech O ∈ X, r ∈ Xif(O), oraz niech v w ∈ A(G) będą dwoma różnymi wektorami. Ponadto wprowadźmy punkty a b A B oraz involucje s S ∈ Inv(G), takie że:
a := v(O)
b := w(O)
s(a) := b (zatem także s(b) := a)
A := r(a)
B := r(b) (punkty A B są różne)
S(A) := B (zatem także S(B) := A)
Zachodzi wtedy, jak pokażę poniżej, następująca rozdzielność:
S(O) = (r o s)(O)
Jest to rozdzielność, gdyż lewa strona S(O) gra rolę A+B = r(a)+r(b), oraz prawa strona (r o s)(O) gra rolę r(a+b). Otrzymujemy zatem równość: r(a+b) = r(a) + r(b). Więcej o tym napiszę w dalszej części niniejszej notki.
DOWÓD (powyższej rozdzielności) Oczywiście:
(r o s o r-1)(A) = B oraz (r o s o r-1)(B) = A
Zatem:
S = r o s o r-1
Ponadto:
A = V(O) dla wektora V := r o v o r-1
B = W(O) dla wektora W := r o w o r-1
Zgodnie z wynikiem z poprzedniej notki (o przemienności wektorów):
S(O) = (V o W)(O) = ((r o v o r-1) o (r o w o r-1))(O)
= (r o v o w o r-1)(O) = (r o v o w)(O) = (r o s)(O)
KONIEC dowodu (powyższej rozdzielności)
=========================================================
Definicja struktury ciała w przestrzeni ostro 2-przechodniej
=========================================================
Niech O E ∈ X będą dwoma różnymi punktami. Zdefinijmy, dla dowolnych a b ∈ X, gdzie a ≠ O, permutacje adb ∈ A(G) oraz mpa ∈ Xif(a) jako (jedyne!) spełniające równości:
adb(O) := b
mpa(E) := a
oraz dodatkowo definiujemy mpO jako funkcję X w siebie, tożsamościowo równą O:
mpO(x) := O dla każdego x ∈ X
W szczególności:
adO = IdX = mpE
Z pomocą dwóch właśnie wprowadzonych funkcji dodawania stałej oraz mnożenia przez stałą, pełne 2-argumentowe dodawanie i mnożenie definiujemy następująco:
x + y := adx(y)
x ⋅ y := mpx(y)
dla dowolnych x y ∈ X.
Struktura ostro 1-przechodniej grupy A(G) przenosi się izomorficznie na X poprzez bijekcję zbiorów X A(G), daną przez:
x ↦ adx dla x ∈ X
Jest to szczególny przypadek ogólnego twierdzenia (obserwacji) o grupach ostro 1-przechodnich (zachodzi zarówno w przypadku skończonym jak i nieskończonym), ale dla spokoju ducha podam dowód. Wystarczy pokazać, że podana bijekcja jest izomorfizmem struktur algebraicznych (A(G) o) oraz (X +). W tym celu porównajmy wektor ada+b z wektorem ada o adb. Oba odwzorowują (jako wektory-permutacje) element O w element a+b. Jest to więc ten sam wektor. Ponieważ struktura algebraiczna (A(G) o) jest grupą, a struktura algebraiczna (X +) jest z nią izomorficzna, to grupą jest także struktura algebraiczna (X +).
Sunday, April 11, 2010
Przestrzenie ostro 2-przechodnie. Cykle. Inwolucje. Przemienność wektorów (grupy A(G)).
Niniejsza notka jest kontynuacją poprzednich, z cyklu:
Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy)
W szczególności zakładamy, że (X G) jest skończoną, n-punktową, ostro 2-przechodnią przestrzenią, oraz V(G) - zbiorem wszystkich permutacji z G, niemających punktu stałego; ponadto
A(G) = V(G) ∪ {IdX}
============================
Cykle
============================
Niech g ∈ G będzie dowolne. Gdy gt = IdX, to długość cyklu każdego x ∈ X:
(x g(x) ... gs-1)
gdzie s jest najmniejszą liczbą naturalna (1 2 ...), dla której gs(x) = x, jest podzielnikiem liczby t: zachodzi s|t.
Niech teraz g ∈ G \ {IdX}. Wtedy istnieje najmniejsza liczba naturalna t > 1, i taka, że istnieje a ∈ X, spełniające:
gt(a) = a
Zatem Fix(gt(a)) zawiera zbiór t-elementowy (cykl)
{ a g(a) ... gt-1(a) }
Na mocy ostrości oznacza to, że gt = IdX. Zatem, na mocy minimalności t,
długość każdego niejednopunktowego cyklu permutacji g jest równa t; gdy g nie jest identycznością, to co najwyżej jeden cykl może mieć długość różną od t - równą 1.
================================
Inwolucje
================================
Permutację g ∈ G nazywamy inwolucją ⇐:⇒ g o g = IdX. Gdy g ≠ IdX, to, na mocy ostatniego stwierdzenia powyżej, wszystkie cykle permutacji g są 2-puntowe, co najwyżej poza jednym. Oznacza to, że dla n parzystego każda inwolucja należy do A(G). Co więcej, dla n parzystego istnieje co najmniej n różnych inwolucji - rzeczywiście, ustalmy O ∈ X. Wtedy dla każdego x ∈ X\{O} dostajemy inwolucję g taką, że g(O) = x oraz g(x) = O. Jest ich n-1. Ponadto dochodzi identyczność. Skoro tak, to dla parzystego n zachodzi równość
Inv(G) = A(G) (dla parzystego n)
Dla n nieparzystego rozpatrzmy dowolną nieidentycznościową inwolucję. Oznaczmy ją przez jO, gdzie O jest jej jedynym punktem stałym, JO(O) = O. Dla dowolnego a ∈ X wybierzmy dowolną permutację f ∈ G, spełniającą f(O) = a. Wtedy
ja := f o jO o f-1
jest inwolucją, ktorej punktem stałym jest a. Otrzymaliśmy w ten sposób n różnych inwolucji nieidentycznościowych. Łącznie z IdX jest ich n+1. Więcej ich nie ma. Rzeczywiście, dla każdej pary różnych punktów istnieje dokładnie jedna (nieidentycznościowa) inwolucja, która ją transponuje. Par istnieje dokładnie
(n ## 2) = n ⋅ (n-1)/2
Przy tym każda nieidentycznościowa inwolucja, dla nieparzystego n, transponuje (n-1)/2 różnych par. Zatem takich inwolucji jest
(n ## 2) / ((n-1)/2) = n
co łącznie z identycznością daje:
|Inv(G)| = n+1
Z powyższego wynika, że w powyższym rozumowaniu różne dozwolone wybory f dawały tę samą inwolucje ja; także dla a = O. Otrzymaliśmy też informację o strukturze zbioru Inv(G), w szczególności:
f o ja o f-1 = ja dla każdego f ∈ Xif(a)
Bowiem mamy po jednej involucji ja w każdej podgrupie Xif(a), a ∈ X.
====================================================
Kompozycje inwolucji i wektorów
====================================================
Dla parzystego n dowiedziona wcześniej równość
Inv(G) = A(G) (dla parzystego n)
daje nam całą podstawową wiedzę na temat wektorów i inwolucji. Niech więc odtąd, w niniejszej części notki, liczba n bedzie nieparzysta.
Niech s ∈ Inv(G) \ {IdX} będzie nietrywialną inwolucją; niech a ∈ X, oraz b := s(a) ≠ a. Istnieje wtedy (dokładnie jeden) wektor v ∈ V(G),nbsp taki że v(a) = b. Oczywiście:
(s o v)(a) = a
więc:
((s o v) o (s o v))(a) = a
Ale s o v o s jest wektorem (bo s jest swoją własną odwrotnością); więc także:
(s o v) o (s o v) = (s o v o s) o v
jest wektorem (jako kompozycja dwóch wektorów). Jest to wektor tożsamościowy, bo ma punkt stały a. Zatem:
(s o v) o (s o v) = IdX
Innymi słowy, kompozycja s o v jest inwolucją, s o v ∈ Inv(G). Co więcej, znamy jej punkt stały:
s o v = ja ∈ Xif(a) ∩ Inv(G)
lub pełniej:
Xif(a) ∩ Inv(G) = {s o v}
Oznacza to, że z każdym punktem a ∈ X\{O} związany jest inny wektor v ∈ V(G). Ponieważ |X\{O}| = |V(G)| = n-1, to w grę wchodzi każdy nietrywialny wektor. Otrzymaliśmy zatem już 99% natępującego twierdzenia:
TWIERDZENIE 0 Kompozycja s o v, oraz v o s, dowolnego wektora z dowolną inwolucją, jest inwolucją.
Jest tak oczywiście także dla wektora trywialnego IdX. Czyli wiemy, że twierdzenie zachodzi dla wszystkich kompozycji s o v. Ale kompozycja v o s jest odwrotnością komppozycji s o v-1 czyli inwolucji (bo v-1 jest wektorem), a więc sama też jest inwolucją. KONIEC dowodu
==================================
Przemienność wektorów
==================================
Następujące twierdzenie dowiedliśmy wcześniej dla parzystych n:
TWIERDZENIE 1 w o v = v o w dla dowolnych wektorów v w ∈ A(G) - czyli grupa A(G) jest abelowa (dla skończonego n := |X| = A(G) > 1; nie wiem jak jest w przypadku nieskończonym).
DOWÓD Skoro dla parzystych n twierdzenie zachodzi, to załóżmy, że n jest nieparzyste.
Niech v w ∈ A(G) będą dwoma różnymi wektorami. Niech O ∈ X będzie dowolne; oraz zdefiniujmy a := v(O) oraz b := w(O). Więc a b są różne, i istnieje (dokładnie jedna) inwolucja s, transponująca a b. Zatem dla inwolucji s o v dostajemy:
(s o v)(O) = b
(s o v)(b) = O
s((v o w)(O)) = O (bo b = w(O))
s(O) = (v o w)(O)
Podobnie dowodzi się:
s(O) = (w o v)(O)
Zatem dla wektorów w o v oraz v o w zachodzi równość:
(v o w)(O) = (w o v)(O)
Skoro tak, to wektory te są równe:
v o w = w o v
========================
UWAGI
========================
Twierdzenia 0 1 zachodzą dla dowolnych liczb naturalnych n > 1, zarówno dla parzystych, jak i dla nieparzystych. Przy tym dla parzystych, odkąd wiemy, że Inv(G) = A(G) (dla n - parzystych), twierdzenia te zachodzą trywialnie.
Także równość:
s(O) = (v o w)(O)
gdzie v w są dwoma różnymi wektorami, oraz punkt wraz z inwolucją s mają własność:
s(v(O)) = w(O) (wię s(w(O)) = v(O)) )
zachodzi zarówno dla nieparzystych n (co dowiodłem), jak i dla parzystych n (co jest trywialne, gdyż po prostu, i jednoznacznie:
s = w o v = v o w
gdy Inv(G) = A(G)).
Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy)
W szczególności zakładamy, że (X G) jest skończoną, n-punktową, ostro 2-przechodnią przestrzenią, oraz V(G) - zbiorem wszystkich permutacji z G, niemających punktu stałego; ponadto
A(G) = V(G) ∪ {IdX}
============================
Cykle
============================
Niech g ∈ G będzie dowolne. Gdy gt = IdX, to długość cyklu każdego x ∈ X:
(x g(x) ... gs-1)
gdzie s jest najmniejszą liczbą naturalna (1 2 ...), dla której gs(x) = x, jest podzielnikiem liczby t: zachodzi s|t.
Niech teraz g ∈ G \ {IdX}. Wtedy istnieje najmniejsza liczba naturalna t > 1, i taka, że istnieje a ∈ X, spełniające:
gt(a) = a
Zatem Fix(gt(a)) zawiera zbiór t-elementowy (cykl)
{ a g(a) ... gt-1(a) }
Na mocy ostrości oznacza to, że gt = IdX. Zatem, na mocy minimalności t,
długość każdego niejednopunktowego cyklu permutacji g jest równa t; gdy g nie jest identycznością, to co najwyżej jeden cykl może mieć długość różną od t - równą 1.
================================
Inwolucje
================================
Permutację g ∈ G nazywamy inwolucją ⇐:⇒ g o g = IdX. Gdy g ≠ IdX, to, na mocy ostatniego stwierdzenia powyżej, wszystkie cykle permutacji g są 2-puntowe, co najwyżej poza jednym. Oznacza to, że dla n parzystego każda inwolucja należy do A(G). Co więcej, dla n parzystego istnieje co najmniej n różnych inwolucji - rzeczywiście, ustalmy O ∈ X. Wtedy dla każdego x ∈ X\{O} dostajemy inwolucję g taką, że g(O) = x oraz g(x) = O. Jest ich n-1. Ponadto dochodzi identyczność. Skoro tak, to dla parzystego n zachodzi równość
Inv(G) = A(G) (dla parzystego n)
Dla n nieparzystego rozpatrzmy dowolną nieidentycznościową inwolucję. Oznaczmy ją przez jO, gdzie O jest jej jedynym punktem stałym, JO(O) = O. Dla dowolnego a ∈ X wybierzmy dowolną permutację f ∈ G, spełniającą f(O) = a. Wtedy
ja := f o jO o f-1
jest inwolucją, ktorej punktem stałym jest a. Otrzymaliśmy w ten sposób n różnych inwolucji nieidentycznościowych. Łącznie z IdX jest ich n+1. Więcej ich nie ma. Rzeczywiście, dla każdej pary różnych punktów istnieje dokładnie jedna (nieidentycznościowa) inwolucja, która ją transponuje. Par istnieje dokładnie
(n ## 2) = n ⋅ (n-1)/2
Przy tym każda nieidentycznościowa inwolucja, dla nieparzystego n, transponuje (n-1)/2 różnych par. Zatem takich inwolucji jest
(n ## 2) / ((n-1)/2) = n
co łącznie z identycznością daje:
|Inv(G)| = n+1
Z powyższego wynika, że w powyższym rozumowaniu różne dozwolone wybory f dawały tę samą inwolucje ja; także dla a = O. Otrzymaliśmy też informację o strukturze zbioru Inv(G), w szczególności:
f o ja o f-1 = ja dla każdego f ∈ Xif(a)
Bowiem mamy po jednej involucji ja w każdej podgrupie Xif(a), a ∈ X.
====================================================
Kompozycje inwolucji i wektorów
====================================================
Dla parzystego n dowiedziona wcześniej równość
Inv(G) = A(G) (dla parzystego n)
daje nam całą podstawową wiedzę na temat wektorów i inwolucji. Niech więc odtąd, w niniejszej części notki, liczba n bedzie nieparzysta.
Niech s ∈ Inv(G) \ {IdX} będzie nietrywialną inwolucją; niech a ∈ X, oraz b := s(a) ≠ a. Istnieje wtedy (dokładnie jeden) wektor v ∈ V(G),nbsp taki że v(a) = b. Oczywiście:
(s o v)(a) = a
więc:
((s o v) o (s o v))(a) = a
Ale s o v o s jest wektorem (bo s jest swoją własną odwrotnością); więc także:
(s o v) o (s o v) = (s o v o s) o v
jest wektorem (jako kompozycja dwóch wektorów). Jest to wektor tożsamościowy, bo ma punkt stały a. Zatem:
(s o v) o (s o v) = IdX
Innymi słowy, kompozycja s o v jest inwolucją, s o v ∈ Inv(G). Co więcej, znamy jej punkt stały:
s o v = ja ∈ Xif(a) ∩ Inv(G)
lub pełniej:
Xif(a) ∩ Inv(G) = {s o v}
Oznacza to, że z każdym punktem a ∈ X\{O} związany jest inny wektor v ∈ V(G). Ponieważ |X\{O}| = |V(G)| = n-1, to w grę wchodzi każdy nietrywialny wektor. Otrzymaliśmy zatem już 99% natępującego twierdzenia:
TWIERDZENIE 0 Kompozycja s o v, oraz v o s, dowolnego wektora z dowolną inwolucją, jest inwolucją.
Jest tak oczywiście także dla wektora trywialnego IdX. Czyli wiemy, że twierdzenie zachodzi dla wszystkich kompozycji s o v. Ale kompozycja v o s jest odwrotnością komppozycji s o v-1 czyli inwolucji (bo v-1 jest wektorem), a więc sama też jest inwolucją. KONIEC dowodu
==================================
Przemienność wektorów
==================================
Następujące twierdzenie dowiedliśmy wcześniej dla parzystych n:
TWIERDZENIE 1 w o v = v o w dla dowolnych wektorów v w ∈ A(G) - czyli grupa A(G) jest abelowa (dla skończonego n := |X| = A(G) > 1; nie wiem jak jest w przypadku nieskończonym).
DOWÓD Skoro dla parzystych n twierdzenie zachodzi, to załóżmy, że n jest nieparzyste.
Niech v w ∈ A(G) będą dwoma różnymi wektorami. Niech O ∈ X będzie dowolne; oraz zdefiniujmy a := v(O) oraz b := w(O). Więc a b są różne, i istnieje (dokładnie jedna) inwolucja s, transponująca a b. Zatem dla inwolucji s o v dostajemy:
(s o v)(O) = b
(s o v)(b) = O
s((v o w)(O)) = O (bo b = w(O))
s(O) = (v o w)(O)
Podobnie dowodzi się:
s(O) = (w o v)(O)
Zatem dla wektorów w o v oraz v o w zachodzi równość:
(v o w)(O) = (w o v)(O)
Skoro tak, to wektory te są równe:
v o w = w o v
========================
UWAGI
========================
Twierdzenia 0 1 zachodzą dla dowolnych liczb naturalnych n > 1, zarówno dla parzystych, jak i dla nieparzystych. Przy tym dla parzystych, odkąd wiemy, że Inv(G) = A(G) (dla n - parzystych), twierdzenia te zachodzą trywialnie.
Także równość:
s(O) = (v o w)(O)
gdzie v w są dwoma różnymi wektorami, oraz punkt wraz z inwolucją s mają własność:
s(v(O)) = w(O) (wię s(w(O)) = v(O)) )
zachodzi zarówno dla nieparzystych n (co dowiodłem), jak i dla parzystych n (co jest trywialne, gdyż po prostu, i jednoznacznie:
s = w o v = v o w
gdy Inv(G) = A(G)).
Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy)
Pierwsze dwie pozycje dotyczą sytuacji ogólniejszych, niż tytułowe.
- Homomorfizm indukowany przez zbiór niezmienniczy (...)
- Przestrzenie ostro k-przechodnie
- Przestrzenie ostro 2-przechodnie. Wektory.
- Przestrzenie ostro 2-przechodnie. Cykle. Inwolucje. Przemienność wektorów (...).
- Charakteryzacja skończonych przestrzeni ostro 2-przechodnich (cz. I)
- Charakteryzacja skończonych przestrzeni ostro 2-prrzechodnich (cz. II)
- Ostra 2-tranzytywność grupy afinicznej ciała uogólnionego
Friday, April 9, 2010
Przestrzenie ostro 2-przechodnie. Wektory.
Opieram niniejszą notkę na poprzedniej: Przestrzenie ostro k-przechodnie (patrz też Homomorfizm indukowany przez zbiór niezmienniczy (...)). Będę opuszczał indeks dolny w XifG, na przykład pisząc po prostu Xif(O) zamiast XifG(O).
Niech (X G) będzie skończoną, n-elementową, ostro 2-przejściową przestrzenią, gdzie n ≥ 2. Wtedy grupa G jest następującą unią mnogościową:
G = {IdX} ∪ ∪({ Xif_O \ {IdX}} : O ∈ X } ∪ V(G)
gdzie V(G) jest zbiorem wszystkich permutacji g ∈ G, które nie mają punktu stałego; będziemy te permutacje g ∈ V(G) nazywali (niezerowymi) wektorami.
Ponieważ zbiory Xif_O \ {IdX} są parami rozłączne, oraz jest ich n, to ich unia liczy sobie n ⋅ (n-2) elementów. Zatem
|V(G)| = n-1
oraz dla zbioru wszystkich wektorów, łącznie z zerowym IdX, t.j. dla
A(G) := V(G) ∪ {IdX}
otrzymujemy:
|A(G)| = n
Pokażę teraz, że dla dowolnych O E ∈ X istnieje (dokładnie jeden) wektor w ∈ A(G) taki, że w(O) = E. Rzeczywiście, gdy O = E, to twierdzenie jest trywialne (wektor jest zerowy, IdX). Niech więc O ≠ E. Istnieje v ∈ V(G), gdyż n > 1. Niech P := v(O), więc P ≠ O. Istnieje więc (dokładnie jedna) permutacja g ∈ Xif(O) taka, że g(P) = E. Zdefiniujmy:
w = g o v o g-1.
Wtedy w jest wektorem (nietrywialnym, gdy v jest nietrywialnym), w ∈ V(G), oraz:
w(O) = (g o v)(g-1(O)) = (g o v)(O) = g(E) = p
Widzimy, że rzeczywiście dla dowolnych O E ∈ X istnieje wektor w ∈ A(G) taki, że w(O) = E. Przy tym dla ustalonego O istnieje takich wektorów co najmniej n (po jednym dla każdego E ∈ X). Ponieważ jest wszystkich wektorów dokładnie n, to dla każdego E ∈ X może istnieć co najwyżej jeden wektor w, spełniający w(O) = E. Zatem dla każdego E ∈ X istnieje dokładnie jeden wektor w ∈ A(G), taki że w(O) = E. Koniec dowodu.
Kulminacją powyższych rozważań jest następujący wynik (stosujemy wcześniejsze założenia i notację dotyczącą X G V(G) A(G)):
TWIERDZENIE 0 (X A(G)) jest ostro 1-przechodnią przestrzenią.
DOWÓD Wiemy, że |A(G)| = |X| = n, oraz że zbiór A(G) jest ostro 1-przechodni, w sensie:
∀ x y ∈ X ∃! v ∈ A(G) v(x) = y
gdzie symbol ∃! oznacza "istnieje dokładnie jeden". Pozostało dowieść, że A(G) jest podgrupą permutacji (grupy G).
(i) IdX ∈ A(G) jest elementem neutralnym względem kompozycji (działania grupowego) - czyli jest tym co zwykle nazywa się jednością (lub zerem przy notacji addytywnej).
(ii) Niech v ∈ A(G). Wtedy permutacja odwrotna, v-1, jest równa IdX lub nie ma punktów stałych, tak jak v. W obu przypadkach v-1 ∈ A(G).
(iii) Niech v w ∈ A(G). Jeżeli (w o v)(x) ≠ x dla każdego x ∈ X, to w o v ∈ A(G). W przeciwnym wypadku istnieje a ∈ X, spełniające (w o v)(a) = a. Oznacza to, że:
w(v(a)) = a = v-1(v(a)), gdzie v-1 ∈ A(G).
Na mocy ostrości A(G): w = v-1 czyli w o v = IdX ∈ A(G). Koniec DOWODU
Niech (X G) będzie skończoną, n-elementową, ostro 2-przejściową przestrzenią, gdzie n ≥ 2. Wtedy grupa G jest następującą unią mnogościową:
G = {IdX} ∪ ∪({ Xif_O \ {IdX}} : O ∈ X } ∪ V(G)
gdzie V(G) jest zbiorem wszystkich permutacji g ∈ G, które nie mają punktu stałego; będziemy te permutacje g ∈ V(G) nazywali (niezerowymi) wektorami.
Ponieważ zbiory Xif_O \ {IdX} są parami rozłączne, oraz jest ich n, to ich unia liczy sobie n ⋅ (n-2) elementów. Zatem
|V(G)| = n-1
oraz dla zbioru wszystkich wektorów, łącznie z zerowym IdX, t.j. dla
A(G) := V(G) ∪ {IdX}
otrzymujemy:
|A(G)| = n
Pokażę teraz, że dla dowolnych O E ∈ X istnieje (dokładnie jeden) wektor w ∈ A(G) taki, że w(O) = E. Rzeczywiście, gdy O = E, to twierdzenie jest trywialne (wektor jest zerowy, IdX). Niech więc O ≠ E. Istnieje v ∈ V(G), gdyż n > 1. Niech P := v(O), więc P ≠ O. Istnieje więc (dokładnie jedna) permutacja g ∈ Xif(O) taka, że g(P) = E. Zdefiniujmy:
w = g o v o g-1.
Wtedy w jest wektorem (nietrywialnym, gdy v jest nietrywialnym), w ∈ V(G), oraz:
w(O) = (g o v)(g-1(O)) = (g o v)(O) = g(E) = p
Widzimy, że rzeczywiście dla dowolnych O E ∈ X istnieje wektor w ∈ A(G) taki, że w(O) = E. Przy tym dla ustalonego O istnieje takich wektorów co najmniej n (po jednym dla każdego E ∈ X). Ponieważ jest wszystkich wektorów dokładnie n, to dla każdego E ∈ X może istnieć co najwyżej jeden wektor w, spełniający w(O) = E. Zatem dla każdego E ∈ X istnieje dokładnie jeden wektor w ∈ A(G), taki że w(O) = E. Koniec dowodu.
Kulminacją powyższych rozważań jest następujący wynik (stosujemy wcześniejsze założenia i notację dotyczącą X G V(G) A(G)):
TWIERDZENIE 0 (X A(G)) jest ostro 1-przechodnią przestrzenią.
DOWÓD Wiemy, że |A(G)| = |X| = n, oraz że zbiór A(G) jest ostro 1-przechodni, w sensie:
∀ x y ∈ X ∃! v ∈ A(G) v(x) = y
gdzie symbol ∃! oznacza "istnieje dokładnie jeden". Pozostało dowieść, że A(G) jest podgrupą permutacji (grupy G).
(i) IdX ∈ A(G) jest elementem neutralnym względem kompozycji (działania grupowego) - czyli jest tym co zwykle nazywa się jednością (lub zerem przy notacji addytywnej).
(ii) Niech v ∈ A(G). Wtedy permutacja odwrotna, v-1, jest równa IdX lub nie ma punktów stałych, tak jak v. W obu przypadkach v-1 ∈ A(G).
(iii) Niech v w ∈ A(G). Jeżeli (w o v)(x) ≠ x dla każdego x ∈ X, to w o v ∈ A(G). W przeciwnym wypadku istnieje a ∈ X, spełniające (w o v)(a) = a. Oznacza to, że:
w(v(a)) = a = v-1(v(a)), gdzie v-1 ∈ A(G).
Na mocy ostrości A(G): w = v-1 czyli w o v = IdX ∈ A(G). Koniec DOWODU
Sunday, April 4, 2010
Przestrzenie ostro k-przechodnie
Grupę wszystkich bijekcji zbioru X na siebie oznaczamy przez Sym(X).
Niech X będzie dowolnym zbiorem oraz k liczbą naturalną (1 2 ...). Podgrupę G grupy Sym(X) nazywamy ostro k-przechodnią (lub ostro k-tranzytywną), gdy dla każdych dwóch ciągów uporządkowanych (x1 ... xk) i (y1 ... yk), złożonych z różnych k elementów zbioru X -- t.zn.
|{x1 ... xk}| = |{y1 ... yk}| = k
-- istnieje dokładnie jedno g ∈ G, takie że g(xj) = yj dla każdego j = 1 ... k. Przestrzenią ostro k-przechodnią nazywamy parę uporządkowaną (X G), złożoną ze zbioru X, o co najmniej k elementach, |X| ≥ k, i z ostro k-przechodniej grupy G w X.
Gdy zbiór X jest skończony, to dla n := |X| ≥ k rząd grupy G dany jest wzorem:
|G| = n ⋅ (n-1) ⋅ ... ⋅ (n-k+1) = (n ## k) ⋅ k!
gdzie (n ## k) jest dwumianowym współczynnikiem Newtona.
UWAGA 0 Dodatkowo ciekawe rzeczy dzieją się, gdy ze zbiorem X związana jest dodatkowa struktura, na przykład geometryczna.
Punkty stałe i przestrzenie indukowane
======================================
Niech g : X --> X będzie dowolną funkcją. Wprowadźmy oznaczenie:
Fix(g) := { x ∈ X : g(x) = x }
czyli Fix(g) jest zbiorem punktów stałych przekształcenia g. Ogólniej, dla dowolnego zbioru H przekształceń g : X --> X rozpatruje się też zbiór ich wspólnych punktów stałych:
Fix(H) := { x ∈ X : ∀ g ∈ H g(x) = x }
Niech teraz G będzie dowolną grupą bijekcji zbioru X na siebie. W duchu Galois, wprowadźmy pojęcia dualne:
XifG(a) := { g ∈ G : g(a) = a }
oraz
XifG(A) := { g ∈ G : ∀ a ∈ A g(a) = a }
dla dowolnych a ∈ X oraz A ⊆ X. Widzimy, że:
Fix(H) = ∩ g ∈ H Fix(g)
XifG(A) = ∩ a ∈ A XifG(a)
więc na przykład:
XifG(A ∪ B) = XifG(A) ∩ XifG(B)
Oczywiście XifG(a) oraz XifG(A) są podgrupami grupy Sym(X). Jeżeli g ∈ Sym(X), to:
g o XifG(a) o g-1 = XifG(g(a))
g o XifG(A) o g-1 = XifG(g(A))
dla a ∈ X, A ⊆ X, gdzie z definicji:
g o H o g' := { g o h o g' : h ∈ H } dla H ⊆ Sym(X);
g(A) := { g(x) : x ∈ A }
Odwzorowanią Fix i XifG są antymonotoniczne względem inkluzji. Ponadto zachodzą inkluzje domykania:
Fix(XifG(A)) ⊇ A dla każdego A ⊆ X
XifG(Fix(H)) ⊇ H dla każdego H ⊆ G
Ogólnie, tego typu dwie odpowiedniości antymonotoniczne i domykające algebraik A.G.Kurosz nazywał odpowiedniościami Galois. Zachodzi dla nich twierdzenie (mood improver):
XifGFix(XifG(A))) = XifG(A) dla każdego A ⊆ X
Fix(XifG(Fix(H))) = Fix(H) dla każdego H ⊆ G
Zdefiniujmy domknięcia zbiorowe i grupowe:
Cls(A) := Fix(XifG(A)) dla każdego A ⊆ X
Clg(H) := XifG(Fix(H)) dla każdego H ⊆ G
Mówimy, że A ⊆ X jest domknięte, gdy Cls(A) = A; oraz że H ⊆ G jest domknięte, gdy Clg(H) = H. Zatem Fix(H) i Xif(A) są domknięte odpowiednio w X i G dla dowolnego H ⊆ G i A ⊆ X. Ponadto zachodzą własności (aksjomaty) Kuratowskiego:
A ⊆ Cls(A) dla każdego A ⊆ X
H ⊆ Clg(H) dla każdego H ⊆ G
oraz:
Cls(Cls(A)) = Cls(A) dla każdego A ⊆ X
Clg(Clg(H)) = Clg(H) dla każdego H ⊆ G
UWAGA 1 Na ogół nie zachodzi dla powyższych operacji domknięcia krytyczny aksjomat Kuratowskiego, typu: Cl(K ∪ L) = Cl(K) ∪ Cl(L). Wynika z niego natychmiast monotoniczność:
K ⊆ L ==> Cl(K) ⊆ Cl(L)
Jednak monotoniczność Cls oraz Clg i tak zachodzi, gdyż operacje te są kompozycją dwóch antymonotonicznych przekształceń FiX i XifG.
UWAGA 2 Dla zbioru pustego ∅ zachodzi:
Fix(∅) = X oraz XifG(∅) = G
zgodnie zresztą z antymonotonicznością.
UWAGA 3 Gdybyśmy zajmowali się podstawami matematyki (logiką, teorią mnogości, ...), to należałoby pisać raczej Fix({g}) oraz XifG({a}) dla pojedynczych g ∈ G oraz a ∈ X, bo notacja Fix(g) oraz Xif(a) byłaby niebezpieczna, czasem byłaby dwuznaczna. Bowiem ogólnie ten sam obiekt może być jednocześnie elementem i podzbiorem tego samego zbioru X lub G.
Niech (X G) będzie n-elementową ostro k-przechodnią przestrzenią. Niech A będzie α-elementowym podzbiorem zbioru X, przy czym niech 0 < α < k. Wtedy
H := { g|X\A : g ∈ XifG(A) }
jest ostro (k-α)-przechodnią grupą permutacji w X\A, czyli (X\A H) jest (n-α)-punktową, ostro (k-α)-przechodnią przestrzenią. Zatem
|H| = (n-α) ⋅ ... ⋅ (n-k+1) = (n-α ## k-α) ⋅ (k-α)!
Niech X będzie dowolnym zbiorem oraz k liczbą naturalną (1 2 ...). Podgrupę G grupy Sym(X) nazywamy ostro k-przechodnią (lub ostro k-tranzytywną), gdy dla każdych dwóch ciągów uporządkowanych (x1 ... xk) i (y1 ... yk), złożonych z różnych k elementów zbioru X -- t.zn.
|{x1 ... xk}| = |{y1 ... yk}| = k
-- istnieje dokładnie jedno g ∈ G, takie że g(xj) = yj dla każdego j = 1 ... k. Przestrzenią ostro k-przechodnią nazywamy parę uporządkowaną (X G), złożoną ze zbioru X, o co najmniej k elementach, |X| ≥ k, i z ostro k-przechodniej grupy G w X.
Gdy zbiór X jest skończony, to dla n := |X| ≥ k rząd grupy G dany jest wzorem:
|G| = n ⋅ (n-1) ⋅ ... ⋅ (n-k+1) = (n ## k) ⋅ k!
gdzie (n ## k) jest dwumianowym współczynnikiem Newtona.
UWAGA 0 Dodatkowo ciekawe rzeczy dzieją się, gdy ze zbiorem X związana jest dodatkowa struktura, na przykład geometryczna.
Punkty stałe i przestrzenie indukowane
======================================
Niech g : X --> X będzie dowolną funkcją. Wprowadźmy oznaczenie:
Fix(g) := { x ∈ X : g(x) = x }
czyli Fix(g) jest zbiorem punktów stałych przekształcenia g. Ogólniej, dla dowolnego zbioru H przekształceń g : X --> X rozpatruje się też zbiór ich wspólnych punktów stałych:
Fix(H) := { x ∈ X : ∀ g ∈ H g(x) = x }
Niech teraz G będzie dowolną grupą bijekcji zbioru X na siebie. W duchu Galois, wprowadźmy pojęcia dualne:
XifG(a) := { g ∈ G : g(a) = a }
oraz
XifG(A) := { g ∈ G : ∀ a ∈ A g(a) = a }
dla dowolnych a ∈ X oraz A ⊆ X. Widzimy, że:
Fix(H) = ∩ g ∈ H Fix(g)
XifG(A) = ∩ a ∈ A XifG(a)
więc na przykład:
XifG(A ∪ B) = XifG(A) ∩ XifG(B)
Oczywiście XifG(a) oraz XifG(A) są podgrupami grupy Sym(X). Jeżeli g ∈ Sym(X), to:
g o XifG(a) o g-1 = XifG(g(a))
g o XifG(A) o g-1 = XifG(g(A))
dla a ∈ X, A ⊆ X, gdzie z definicji:
g o H o g' := { g o h o g' : h ∈ H } dla H ⊆ Sym(X);
g(A) := { g(x) : x ∈ A }
Odwzorowanią Fix i XifG są antymonotoniczne względem inkluzji. Ponadto zachodzą inkluzje domykania:
Fix(XifG(A)) ⊇ A dla każdego A ⊆ X
XifG(Fix(H)) ⊇ H dla każdego H ⊆ G
Ogólnie, tego typu dwie odpowiedniości antymonotoniczne i domykające algebraik A.G.Kurosz nazywał odpowiedniościami Galois. Zachodzi dla nich twierdzenie (mood improver):
XifGFix(XifG(A))) = XifG(A) dla każdego A ⊆ X
Fix(XifG(Fix(H))) = Fix(H) dla każdego H ⊆ G
Zdefiniujmy domknięcia zbiorowe i grupowe:
Cls(A) := Fix(XifG(A)) dla każdego A ⊆ X
Clg(H) := XifG(Fix(H)) dla każdego H ⊆ G
Mówimy, że A ⊆ X jest domknięte, gdy Cls(A) = A; oraz że H ⊆ G jest domknięte, gdy Clg(H) = H. Zatem Fix(H) i Xif(A) są domknięte odpowiednio w X i G dla dowolnego H ⊆ G i A ⊆ X. Ponadto zachodzą własności (aksjomaty) Kuratowskiego:
A ⊆ Cls(A) dla każdego A ⊆ X
H ⊆ Clg(H) dla każdego H ⊆ G
oraz:
Cls(Cls(A)) = Cls(A) dla każdego A ⊆ X
Clg(Clg(H)) = Clg(H) dla każdego H ⊆ G
UWAGA 1 Na ogół nie zachodzi dla powyższych operacji domknięcia krytyczny aksjomat Kuratowskiego, typu: Cl(K ∪ L) = Cl(K) ∪ Cl(L). Wynika z niego natychmiast monotoniczność:
K ⊆ L ==> Cl(K) ⊆ Cl(L)
Jednak monotoniczność Cls oraz Clg i tak zachodzi, gdyż operacje te są kompozycją dwóch antymonotonicznych przekształceń FiX i XifG.
UWAGA 2 Dla zbioru pustego ∅ zachodzi:
Fix(∅) = X oraz XifG(∅) = G
zgodnie zresztą z antymonotonicznością.
UWAGA 3 Gdybyśmy zajmowali się podstawami matematyki (logiką, teorią mnogości, ...), to należałoby pisać raczej Fix({g}) oraz XifG({a}) dla pojedynczych g ∈ G oraz a ∈ X, bo notacja Fix(g) oraz Xif(a) byłaby niebezpieczna, czasem byłaby dwuznaczna. Bowiem ogólnie ten sam obiekt może być jednocześnie elementem i podzbiorem tego samego zbioru X lub G.
Niech (X G) będzie n-elementową ostro k-przechodnią przestrzenią. Niech A będzie α-elementowym podzbiorem zbioru X, przy czym niech 0 < α < k. Wtedy
H := { g|X\A : g ∈ XifG(A) }
jest ostro (k-α)-przechodnią grupą permutacji w X\A, czyli (X\A H) jest (n-α)-punktową, ostro (k-α)-przechodnią przestrzenią. Zatem
|H| = (n-α) ⋅ ... ⋅ (n-k+1) = (n-α ## k-α) ⋅ (k-α)!
Saturday, April 3, 2010
Homomorfizm indukowany przez zbiór niezmienniczy (teoria grup)
Niech G = (G ⋅ -1 e) będzie dowolną grupą, gdzie e ∈ G jest jednością.
Zbiór T ⊆ G nazywamy niezmienniczym (w grupie G), gdy
x ⋅ t ⋅ x-1 ∈ T dla dowolnego t ∈ T oraz x ∈ G.
Przykład 0 Każda podgrupa niezmiennicza grupy G jest zbiorem niezmienniczym.
Przykład 1 Niech
Inv(G) := { x ∈ G : x2 = e } - jest to zbiór wszystkich elementów-inwolucji grupy G. Nietrudno sprawdzić, że inwolucje stanowią zbiór niezmienniczy. Ponadto iloczyn dwóch inwolucji, a ⋅ b, jest inwolucją ⇔ gdy te inwolucje są przemienne, a ⋅ b = b ⋅ a. Zatem, gdy każde dwie inwolucje są przemienne, i tylko wtedy, zbiór Inv(G) stanowi podgrupę - oczywiście normalną i przemienną.
Niech T będzie niepustym zbiorem niezmienniczym. Niech Sym(T) bedzie zbiorem wszystkich bijekcji zbioru T (czyli permutacji, gdy T jest skończone). Sym(T) jest grupą ze względu na działanie kompozycji funkcji, ο. Dla dowolnego g ∈ G otrzymujemy bijekcję
Fg : T --> T
zadaną wzorem: Fg(t) := g ⋅ t ⋅ g-1, dla dowolnego t ∈ T (jest to obcięcie automorfizmu wewnętrznego grupy G do zbioru T). Zachodzą wzory:
(i) Fe = IdT
(ii) (Fg)-1 = Fg-1
(iii) Fh ο Fg = Fh ο g
(gdzie przez (Fg)-1 rozumie się tu odwrotność Fg w Sym(T), względem kompozycji funkcji). Własności (i) (ii) (iii) oznaczają, że przyporządkowanie F :G --> Sym(T), dane wzorem:
F : g |--> Fg
jest homomorfizmem grupy G w grupę Sym(T).
Uwaga 0 Powyższa własność (ii) wynika z kombinacji własności (i) i (iii).
Gdy T jest podgrupą normalną i przemienną grupy G, to Ft = IdT dla dowolnego t ∈ T, czyli T jest zawarte w jądrze homomorfizmu F. Zatem F indukuje homomorfizm
Φ : G/T --> Sym(T)
-- to znaczy, F = Φ ο π, gdzie π : G --> G/T jest homomorfizmem ilorazowym.
Dodatek: Grupy Inwolucji
===============================================
Grupa G, której każdy element jest inwolucją (jest rzędu 1 lub 2), jest abelowa. Nazwijmy więc jej element jednostkowy zerem, 0, a operację grupową dodawaniem, +. Jest jasnym, że G w sposób jednoznaczny dopuszcza strukturę przestrzeni wektorowej nad ciałem dwuelementowym. Taka grupa, czyli przestrzeń wektorowa nad ciałem 2-elementowym, ma bazę liniową B, co w przypadku skończonej grupy G oznacza, że jej rząd jest potęgą 2:
|G| = 2|B|
Oczywiście każda podgrupa grupy inwolucji, jak i grupa ilorazowa, sama jest grupą inwolucji, więc ma podobne własności; w szczególności jej rząd jest potęgą 2.
Zbiór T ⊆ G nazywamy niezmienniczym (w grupie G), gdy
x ⋅ t ⋅ x-1 ∈ T dla dowolnego t ∈ T oraz x ∈ G.
Przykład 0 Każda podgrupa niezmiennicza grupy G jest zbiorem niezmienniczym.
Przykład 1 Niech
Inv(G) := { x ∈ G : x2 = e } - jest to zbiór wszystkich elementów-inwolucji grupy G. Nietrudno sprawdzić, że inwolucje stanowią zbiór niezmienniczy. Ponadto iloczyn dwóch inwolucji, a ⋅ b, jest inwolucją ⇔ gdy te inwolucje są przemienne, a ⋅ b = b ⋅ a. Zatem, gdy każde dwie inwolucje są przemienne, i tylko wtedy, zbiór Inv(G) stanowi podgrupę - oczywiście normalną i przemienną.
Niech T będzie niepustym zbiorem niezmienniczym. Niech Sym(T) bedzie zbiorem wszystkich bijekcji zbioru T (czyli permutacji, gdy T jest skończone). Sym(T) jest grupą ze względu na działanie kompozycji funkcji, ο. Dla dowolnego g ∈ G otrzymujemy bijekcję
Fg : T --> T
zadaną wzorem: Fg(t) := g ⋅ t ⋅ g-1, dla dowolnego t ∈ T (jest to obcięcie automorfizmu wewnętrznego grupy G do zbioru T). Zachodzą wzory:
(i) Fe = IdT
(ii) (Fg)-1 = Fg-1
(iii) Fh ο Fg = Fh ο g
(gdzie przez (Fg)-1 rozumie się tu odwrotność Fg w Sym(T), względem kompozycji funkcji). Własności (i) (ii) (iii) oznaczają, że przyporządkowanie F :G --> Sym(T), dane wzorem:
F : g |--> Fg
jest homomorfizmem grupy G w grupę Sym(T).
Uwaga 0 Powyższa własność (ii) wynika z kombinacji własności (i) i (iii).
Gdy T jest podgrupą normalną i przemienną grupy G, to Ft = IdT dla dowolnego t ∈ T, czyli T jest zawarte w jądrze homomorfizmu F. Zatem F indukuje homomorfizm
Φ : G/T --> Sym(T)
-- to znaczy, F = Φ ο π, gdzie π : G --> G/T jest homomorfizmem ilorazowym.
Dodatek: Grupy Inwolucji
===============================================
Grupa G, której każdy element jest inwolucją (jest rzędu 1 lub 2), jest abelowa. Nazwijmy więc jej element jednostkowy zerem, 0, a operację grupową dodawaniem, +. Jest jasnym, że G w sposób jednoznaczny dopuszcza strukturę przestrzeni wektorowej nad ciałem dwuelementowym. Taka grupa, czyli przestrzeń wektorowa nad ciałem 2-elementowym, ma bazę liniową B, co w przypadku skończonej grupy G oznacza, że jej rząd jest potęgą 2:
|G| = 2|B|
Oczywiście każda podgrupa grupy inwolucji, jak i grupa ilorazowa, sama jest grupą inwolucji, więc ma podobne własności; w szczególności jej rząd jest potęgą 2.
Subscribe to:
Posts (Atom)