Dzieci i matematyka. Cz. 1

W odcinku 0 pisałem o _parzystości._ Planuję napisać o tym więcej. Najpierw jednak o geometrycznych wyobrażeniach liczb (w miejsce mechanicznego liczenia w kółko 1 2 3 ...), następnie o operacjach mnogościowych i arytmetycznych, łącznie z operacjami modularnymi (cyklicznymi). Dopisek: długi ten post się zrobił. Napiszę o jakby mnogościowym wprowadzeniu operacji w następnym.

===

Bardzo wcześnie w okresie uczenia się przez dziecko kolejnych liczb 0 1 2 ...warto, a nawet należy przydawać każdej małej liczbie jej indywidualny charakter, a w szczególności łączyć je z wyobrażeniami geometrycznymi. Tak więc

• 1 = 1


• 3 = 1+2


• 6 = 1+2+3


• 10 = 1+2+3+4


• 15 = 1+2+3+4+5

...

są liczbami trójkątnymi. Dziecko może dowolna grupę bierek lub kamieni od GO rozbijać na liczby trójkątne. Zawsze da się rozbić na nie więcej niż trzy trójkąty. Jest to głębokie, trudne twierdzenie Gaussa. Ale dziecko może na przykład rozbić 13 i 14 na trzy trójkąty:

13 = 6 + 6 + 1
14 = 10 + 3 + 1

Itd. Kupki kamieni mogą być spore, poza zakresem zdolności rachowania ich.

Podobnie wprowadzamy liczby kwadratowe:

1 = 1*1
4 = 2*2
9 = 3*3
16 = 4*4
itd.

Każda liczba kwadratowa jest sumą dwóch trójkątnych. Ustawiamy z bierek kwadrat. Następnie kładziemy rozprostowaną nitkę lub sznurek obok głównej przekątnej. Wtedy sznurek podzieli kwadrat (liczbę kwadratową) na dwa trójkąty. Gdy bok kwadratu miał 5 kamieni, to bok większego trójkąta też będzie liczył sobie 5 kamieni, a mniejszego - 4.

Kamienie domino po swojemu przedstawiają liczby. Można dorobić różne rysunki. Bawimy się. Po okresie zabawy, wskazując na rysunek, pytamy dziecko co to za liczba. Powinno (z czasem) odpowiedzać natychmiast, bez liczenia. I na odwrót, pytamy abstrakcyjnie o liczbę, a dziecko pokazuje na wszystkie obrazki, reprezentujące dana liczbę (może być ich więcej niż jeden; na przykład 5 może być przedstawione jako pięć grubych kropek na okręgu lub, jak w dominie, 4 rogi kwadratu + środek).

Można wprowadzić liczby złożone, jako nietrywialnie prostokątne. Niezłożone, większe od 1, można nazwać pierwszymi (bo są pierwsze wśród wszystkich prostokątów).

UWAGA  Twierdzenie Lagrange'a mówi, że każda liczba naturalna jest sumą nie więcej niż 4 kwadratów. Jest to twierdzenie łatwiejsze od twierdzenia Gaussa o trzech liczbach trójkątnych. Można o nim dziecku przy okazji wspomnieć, ale nie za szybko. Nie należy nikogo, a szczególnie dziecka, przeładowywać informacją. Liczba 7 naprawdę wymaga 4 kwadratów - trzy nie wystarczą. Jeżeli dziecko zechce bawić się w rozkładanie liczb na kwadraty, to bardzo dobrze. Wystarczy o takiej możliwości wspomnieć, a nawet pokazać klasyczną trójkę pitagorejską:

  3^3 + 4^2 = 5^2

Burzymy dwa kwadraty, i składamy jeden.
===

Ustawmy na kocu grupę bierek waercabowych w dwie kolumny, o tej samej liczbie bierek, lub różniące się o jedną bierkę. Kładąc sznurek w poprzek kolumn, dzielimy nasz dwukolumnowy słupek na dwa. Za każdym razem cieszymy się na głos, na jeden z następujących sposobów:

parzyste + parzyste = parzyste
nieparzyste + nieparzyste = nieparzyste

parzyste + nieparzyste = nieparzyste
nieparzyste + parzyste = nieparzyste

Nawet te równości elegancko możemy zapisać dziecku w zeszycie "na czysto", i oprócz pokrzykiwania, możemy jednocześnie wskazywać na odpowiedni napis.

UWAGA 0:  Niech wiedza zapada przez oczy, uszy, rytm, ... wszelkie zmysły (w matematyce chyba oczy, uszy i rytm wystarczy, choć możnaby dodać wagę - szacować liczbę kulek w ręku bez liczenia, a tylko ważąc, lub poruszając ręką, odczuwając inercję).

UWAGA 1:  Wszelkie małe rachunki (a z czasem także spore) dziecko powinno czynić w głowie, bez patrzenia na palce, bez poruszania wargami. Co prawda moja córka zarzuciła swojemu młodszemu, 2-3-letniemu wtedy bratu, że on wszystko jedno liczy na palcach, chociaż te palce wyobraża sobie w głowie.

===

Od _parzystości,_ czyli mod 2, przechodzimy do mod 3.

W nowym hotelu należy wstawić po 3 krzesła do każdego pokoju. Mamy grupę kamieni (grają rolę krzeseł). Dla ilu pokoi wystarczą? wcale kamieni nie rachujemy (ani się ważcie!). Rozczapierzamy 3 palce, i po 3 kamienie na raz ustawiamy je w słupek z 3 kolumn. Liczba kamieni w słupku (wysokość) da nam liczbę pokoi. Jest znacznie mniejsza od liczby krzeseł, więc liczbę pokoi teraz dziecko z łatwością policzy. Sami zaczniemy od sporej kupki, a dziecko niech się ćwiczy na mniejszych.

A co kiedy na górze słupka pojawią się na koniec tylko dwa kamienie, bo trzech już w kupce nie będzie? Wtedy wołamy: jest o dwa za dużo! I zasłaniamy je dłonią, by po chwili zawolać: Nie-nie! jest o jeden za mało!, i dodajemy jeden kamień spoza kupki. Za mało o 1, czy za dużo o 2? W końcu machaniemy ręką, stwierdzając, że to właściwie znaczy w danej sytuacji to samo.

A co, gdy mamy dwie kupki? W jednej jest o 1 za mało, a w drugiej jest o 1 za dużo? Wtedy w sumie jest w sam raz. Itd. Można przyswoić sobie i dziecku dodawanie i odejmowanie mod 3. Wszystko należy robić z wyczuciem. Nigdy nie iść w danym kierunku, pozostawiając za dziekiem elementy kompletnie niezrozumiane, gdy koniecznym jest z tych elementów korzystać w dalszym ciągu. Chodzi o rozumienie pojęciowe, a nie o dowody.

===

Od okręgu, niech promieniście rozchodzą się na zewnątrz nazwy dni tygodnia:

  niedziela poniedziałem wtorek środa, czwartek piątek sobota

Dziecko nie musi umieć czytać, żeby widzieć, że nazwy wyglądają różnie, a przede wszystkim są różnie położone na diagramie. Moxe nauczyć się cyklistości, zanim nauczy się porządnie czytać (jedno drugiemu pomaga).

Kiedy indziej pełne nazwy można zastąpić skrótami, powiedzmy 1-2 literowymi.

Gdy dodamy do wtorku 1 (dzień), to otrzymamy środę. Gdy 6, to poniedziałek, gdy 7 - z powrotem wtorek. Na okręgu widać to z łatwościa. Podobnie widać odejmowanie. A gdy dodamy 8, to tak jak dodać 1. Dodawanie 7 jest jak dodawanie 0, a 8 jak 1. Itd. Dni tygodnia dalej są na okregu, i żadne z nich nie jest szczególne (nie mówimy o religiach). Natomiast liczby dzielą się, w zależności od akcji na dniach, na klasy:

  [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

przy czym każda liczba cał
kowita reprezentuje dokładnie jedną klasę; na przykład:

  [-1] = [6] = [13]
  [-2] = [5] = [12]
  [-3] = [4] = [11]

itd. Można się bawić. Można nawet dojść do geometrii skonczonej i do kwadratów magicznych. Można ułożyć 10x10 kwadrat ze 100 kamieni (powiedzmy od GO). Jaki będzie dzień tyfodnia za 100 dni. Ze 100 kamieni układamy słupek z 7 kolumn. Na górze, na najwyższym piętrze pokażą się dokładnie dw kamienie:

  100 = 7*14 + 2

Czyli dzień tygodnia zmnieni się o 2. Jaki by dziś nie był, to łatwo stąd przewidzieć jaki będzie za 100 dni. Dziś jest wtorek, więc za 100 dni będzie czwartek.

Dzieci i matematyka. Cz. 0

Zwlekam, zwlekam, teraz też nie jest dobry moment, a na dodatek komputer straszliwie mi spowolniał (czyżby Wave pakował się nieproszony w paradę; mam szereg emailów o Wave, wszystkie nieotworzone). Trzeba jednak w końcu nabrać oddech i zacząć tego buzza.

===

Pomoce naukowe: warcaby (ze dwa komplety, by mieć wiele bierek), szachy, domino, weiqi (GO), niewielkie kamienie - z grubsza takie same, karty.

W przypadku wszelkich kamieni i bierek należy uważać, żeby brzdąc ich nie połykał. (Uwaga, @Pani Moniko, mniej więcej połowa brzdąców jest rodzaju żeńskiego; w moim przypadku, na moje cztery brzdące, trzy były dziewczynkami, czyli 75%, i jeden był chłopcem, czyli 25% - podaję procenty, bo piszę także dla humanistów).

Także należy zaopatrzyć się w po dwa proste, ale eleganckie zeszyty w kratkę i czyste (uwaga humaniści: w sumie 4 zeszyty). Należy unikać papieru w linie.

===

PARZYSTOŚĆ

Można uczyć małe dziecko parzystości, na sporych zbiorach, jeszcze zanim zacznie liczyć powyżej pięciu. Należy usadowić się, wraz z dzieckiem, na kocu, na podłodze. Najpierw bierzemy grupę bierek, niech będzie z boku. Następnie suwamy po jednej, ustawiając je przed dzieckiem i sobą w dwie kolumny, tak by wciąż miały po tyle samo bierek, lub jedna miała o jedną więcej. Po ulokowaniu kolejnej bierki radośnie wołamy:

  nieparzysty! (zbiór), parzysty! nieparzysty! parzysty! ...

do czego dziecko powinno entuzjastycznie się dołączyć i wołać z nami, a z czasem samo. Przy kolejnych zabawach niech samo przesuwa po jednej bierce, a rodzic może kolumny wyrównywać - niech się dziecko uczy porządku. Bierkę, która czyni kolumny nierównymi (a sumę nieparzystą) należy czasem dodawać do lewej kolumny, a czasem do prawej, w nieregularny, przypadkowy sposób. (W ten sposób dziecko będzie wiedziało, że wybór kolumny w danym przypadku jest nieważny).

Następna zabawa: Pokazujemy dziecku niewielką grupkę bierek, i pytamy: parzysta czy nieparzysta? Po czym sprawdzamy, odciągając od grupki po dwie bierki, dwoma rozczapierzonymi palcami jednej ręki, i ustawiając je w dwie kolumny. Wreszcie bierki wyczerpią się (wtedy odpowiedź jest: parzysta!, koniecznie z wykrzyknikiem!), albo zostanie jedna, ostatnia bierka, którą dołączymy do jednej z kolumn, wołając z rozczarowaniem: nieparzysta! (i mimo wszystko z wykrzyknikiem). Po kilku razach dziecko samo może dwoma rozczapierzonymi paluszkami przesuwać po dwie bierki, żeby przekonać się o parzystości. Co więcej, role można odwrocić całkowicie: niech dziecko pyta o parzystośc, a rodzic zgaduje (i niech czasem się myli, tak z raz na dwa).

RÓWNOLICZNOŚĆ i nierówności

Zabawy w parzystość przygotowują dziecko do pojęcia równoliczności dwóch zbiorów. Tym razem tworzymy na kocu dwie grupy bierek, jedną czarnych, drugą czerwonych (w każdym razie dwóch, łatwo rozróżnialnych rodzajów). Pytamy dziecko, która grupa ma więcej kamieni (Pytać należy precyzyjnie - nie "która grupa jest większa?", lecz która ma więcej elementów? - to jest naprawdę ważne); a może mają tyle samo?. Po uzyskaniu odpowiedzi, dwoma rozczapierzonymi palcami tej samej dłoni odprowadzamy z grup po jednym kamieniu każdego koloru, tworząc z nich dwie kolumny. W końcu albo wyczerpiemy wszystkie kamienie, albo ostanie się jeden kolor. W ten sposób otrzymamy wynik, porównanie liczności. Przy małej różnicy, możemy na koniec dodać, że na przykład grupa czerwona była od czarnej liczniejsza (liczniejsza, a nie większa) o trzy kamienie.

Z czasem rolę rodzica i dziecka można w grze usymetrycznić (jak w przypadku parzystości). Zawsze dobrze jest usymetryczniać, kiedy tylko się da.

Po kilku takich grach można grupy tworzyć z dwóch rodzajów, istotnie różnych co do wielkości kamieni (elementów). Powiedzmy weiqi kamienie wersus warcabowe bierki. Pięć warcabów będzie tworzyło większą, ale mniej liczną grupę od siedmiu kamieni weiqi.

Kto ma cierpliwość, ten może dwie grupy na różne sposoby mierzyć. Można ważyć. Można zanurzać w wodzie, w naczyniu mierzącym objętość. Dziecko się przekona, że nie ma jednego pojęcia dla "większy". Że istnieje relatywność.

===

Większość edukacyjnych, matematycznych programów komputerowych nie pobudza myślenia.

Formułowanie dobrych zadań dla dzieci wymaga słuchu matematycznego, prawdziwego zrozumienia, i znajomości matematyki, której większość autorów nie posiada. Chociaż mówimy o maleńkich dzieciach, to i tak matematykę trzeba widzieć na wskroś.

Mam nadzieję kontynuować. Jeżeli jednak Was nudzę, to zajmę się czymś innym. Czasem miłoby było pisać nawet marynistycznie. Czasu mam jednak mało.

Małe dzieci i nauka

Celem jest danie dziecku więcej radości i satysfakcji, wzbogacenie osobowości, a nie męczenie go i pozbawienie dzieciństwa.

===

W każdej dziedzinie, czy uczy się początkującego - czy zaawansowanego, zdolnego - czy tępego, przyszłego mistrza świata - czy też przeciętnego amatora, czy to chodzi o muzykę, pływanie, czy matematykę... - zawsze należy uczyć i ćwiczyć w możliwie najlepszym, więc i najestetyczniejszym stylu. Niestety, spotykałem się z przeciwnym poglądem (ze strony kiepskich matematyków), o tym, że jakoby niezdolnych studentów należy uczyć ze złych podręczników (napisanych w złym stylu). Trudno o bardziej fałszywy i szkodliwy pogląd (jakże wygodny dla tych, którzy sami stylu nie posiadają, mają niskie kwalifikacje, i talentem nie grzeszą).

===

Największym darem dla dziecka, zwłaszcza małego, jest czas, który rodzice (lub opiekunowie) spędzają z dzieckiem. Jest to też dar także dla rodziców, dany samemu sobie. Chodzi zarówno o aktywnie wspólny czas, jak i pasywny (na przykład rodzic coś robi przy stole, a dziecko bawi się obok na podłodze lub w łóżeczku).

Na ogół ważniejszym od tego, jak rodzic dziecko uczy, jest to, że w ogóle je uczy - im więcej tym lepiej (w granicach rozsądku). Bowiem liczy się wspólny czas, oraz przekazanie sygnału, że pewne rzeczy są ważne i warte zachodu. Na przykład, widziałem na osiedlowym basenie jak pewien ojciec zawzięcie, choć strasznie niedobrze uczył swoją córeczkę pływać. Dziecko nie wyrośnie może na olimpijską pływaczkę, ale nabiło się energią życiową i spokojem duchowym na dziesiątki lat. No, gdyby ten ojciec dobrze uczył, byłoby jeszcze o wiele lepiej, na szereg sposobów (i z szeregu powodów).

===

Dla niemowlaków najważniejszy dla ich głowowego rozwoju jest feedback, współgranie. Dlatego warto bawić się z maluchami we wszelkie wariacje przedrzeźniania i dosyć regularnych, ale nie w pełni!, cyklicznych powtórek (jak na przykład "a ku-ku!". Dziś pomocne mogą być różne zabawki elektroniczne, nastawione na feedback. Oczywiście kontaktu z dorosłymi nie zastąpią (lub z innymi dziećmi lub nawet zwierzętami, jak psy i koty).

Bawić się i żartować warto całe życie, ale odkąd dziecko zaczyna wyrażać swoje życzenia, rozumowania i opinie, należy rozmawiać z dzieckiem serio, jak z dorosłym, czyli z szacunkiem. Właśnie to jest ważne, a nie lipne pochwały i tym podobne cukierkowe zagrania "psychologiczne", które dziecko mylą, bo nie dają mu prawidłowego feedbacku. Ten start powagi powinien nadejść naturalnie i machinalnie. Po prostu jako fair reakcja na drugą osobę (to znaczy na dziecko).

Skojarzenie: gdy ma się dać dziecku zabawkę albo serio wersję (dla dorosłych) tego samego, to lepiej obdarzyć go wersją "dla dorosłych". Chodzi nie o fizyczne parametry (które należy ewentualnie dostosować do fizycznej wielkości dziecka), lecz o powagę. Na przykład, niech ma prawdziwy kalkulator, a nie lipną zabawkę-kalkulator. Prawdziwy instrument muzyczny (choćby miniaturowy), a nie zabawkę-instrumencik. Itd. Serio książka z realistycznymi ilustracjami z biologii (zwierząt i roślin), w połączeniu z komentarzami rodzica, jest bez porównania lepsza niż książeczka dziecięca, pełna lipy i kiepskich, farbowanych ilustracji. Oczywiście wysokiej klasy wiersze i opowiadania dla dzieci są cenne dla dzieci (i dla dorosłych!).

DYGRESJA Nie znam angielskich ani rosyjskich wierszy dla dzieci, które mogłyby się umywać do polskich Tuwima, Brzechwy, Leśmiana... Wy znacie? Czy ktoś - @Pani Monika? - zna takie w języku francuskim? W literaturze chińskiej znam co najmniej jeden (w tłumaczeniach; autorem tego wiersza jest Li Bai), który jest po prostu poezją najwyższego lotu, ale jest świetny także dla dzieci.

===

Nauka wymaga między innymi opanowania rutyn. Gdy tylko dziecko pewną rutynę osiągnie, to nie powinno tej rutyny powtarzać samej dla siebie. Powinna taka rutyna występować odtąd jako narzędzie, stosowane podświadomie, by uzyskać bardziej zaawansowane cele. W szczegolności rodzice nie powinni nakłaniać dziecka do popisywania się rutynami przed rodziną lub znajomymi lub kimkolwiek. Takie sytuacje są niezdrowe.

Ostra 2-tranzytywność grupy afinicznej ciała uogólnionego

Wstęp

Niniejsza nota dopełnia (jak druga strona medalu) wyniki not poprzednich, patrz

    Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy).

Chociaż dowody poniżej nie zależą od poprzednich not (poza podsumowaniem), to jednak notacja i terminologia pochodzi w dużej mnierze z wcześniejszych, więc warto rzucić na nie okiem. W sumie, scharakteryzowałem skończone ostro 2-przechodnie przestrzenie jako 1-wymiarowe przestrzenie afiniczne nad _ciałami uogólnionymi_ w sensie poniżej; nazywam takie uogólnione ciała _gildami_ (bo alfabetycznie po angielsku jesrt naturalnym mieć _gild_ po _field_ ). Pokazałem też, że dodawanie w gildach skończonych jest przemienne.

Definicja ciała uogólnionego, gild.

Niech

    K := (K + * Sub Div 0 1)

będzie uporządkowaną siódemką, złożoną ze zbioru K, operacji 2-argumentowej + w zbiorze K, operacji 2-argumentowej * w zbiorze K^# := K\{0}, operacji 1-argumentowej Sub w zbiorze K, 1-argumentowej Div w zbiorze K^#, oraz dwóch różnych elementów 0 1 zbioru K, gdzie:

    (K + 0)  jest grupą,
    (K# * 1)  jest grupą,

oraz zakładając (dodefiniowując):

        a*0 = 0*a = 0   dla każdego  a ∈ K

niech zachodzi własność lewej rozdzielności:

    a*(b+c) = a*b + a*c

(jak zwykle zakładamy, że * wiąże mocniej niż +). Wtedy uporządkowaną siódemkę K nazywamy ciałem uogólnionym lub krótko gild.

UWAGA 0: Nie zakładamy przemienności ani dodawania +, ani mnożenia *.

TWIERDZENIE 0      x * Sub(y)  =  Sub(x * y)

DOWÓD

    x*y + x*Sub(y)  =  x*(y + Sub(y))  =  x*0  =  0

KONIEC DOWODU

Przekształcenia afiniczne

Dla dowolnych a b ∈ K definiujemy przekształcenie afiniczne

        f  :=  fa b  : K → K

jak następuje:

        f(x) := a*x + b   dla dowolnego x ∈ K

Gdy a=0, to f jest funkcją stałą, równą b. Dla niezerowych a, przekształcenia afiniczne jest surjekcją, t.zn. dla dowolnego X ∈ K istnieje x ∈ K takie, że f(x) = X - rzeczywiście, jest tak dla:

        x := Div(a)*(X + Sub(b))

Co więcej, jest tak tylko dla tego jednego x, co wynika z procesu rozwiązywania równania f(x) = X. Można też sprawdzić jednoznaczność bez rozwiązywania równania tak -

    gdy  f(x') = f(x),  to  f(x') + Sub(f(x)) = 0,

czyli:

    a*(x' + Sub(x))  =  a*x' + a*Sub(x)

    =  a*x' + Sub(a*x)

    =  a*x' + b + Sub(b) + Sub(a*x)

    =  f(x') + Sub(f(x))  =  0

więc  x' +Sub(x) = 0,  skąd  x'=x.

Pokazaliśmy, że dla niezerowego współczynnika a przekształcenie afiniczne f jest bijekcją.

W szczególności bijekcją afiniczną jest  IdK:

        IdK(x) := 1*x + 0

Przekształcenie odwrotne

Widzieliśmy, że dla 0 ≠ a ∈ K, afiniczna równość daje się odwrócić:

    X = a*x + b   ⇔   x =   A*X + B

gdzie  A := Div(a)  oraz  B := Div(a) + Sub(b)

Oznacza to, że bijekcja g odwrotna do bijekcji afinicznej f jest afiniczna, gdzie

        g(x) := A*x + B
        g o f = f o g = IdK

Kompozycja przekształceń afinicznych

Niech dwa przekształcenia afiniczne będą dane wzorami:

        f(x) := a*x + b   oraz F(x) := A*x + B

gdzie  a b A B ∈ K  są dowolne. Wtedy:

    (F o f)(x) = F(a*x + b) = (A*a)*x + (A*b + B)

czyli kompozycja F o f też jest afiniczna. W szczególności dla bijekcji, w świetle ostatniego i poprzednich wyników, otrzymujemy:

TWIERDZENIE 1: Bijekcje afiniczne gildu K tworzą grupę względem operacji 2-argumentowej kompozycji przekształceń.

Ostra 2-przechodniość grupy afinicznej

Dla dowolnie ustalonych x y X Y ∈ K takich, że x ≠ y, znajdźmy wszystkie (o ile jakiekolwiek) pary a b ∈ K dla których zachodzą równości:

        X = a*x + b
        Y = a*y + b

czyli chodzi o rozwiązanie układu 2 równań z niewiadomymi a b. Wartości a b muszą spełniać:

    Y + Sub(X)  =  a*y + b + Sub(b) + Sub(a*x)

    =  a*y + Sub(a*x)  =  a*y + a*Sub(x)

    =  a*(y + Sub(x))

czyli

        a  :=  (Y + Sub(X))*Div(y + Sub(x))

jest jedyną możliwą wartością a (t.zn. każda inna jest zła). Skoro tak, to

        b  :=  Sub(a*x) + X

dla a zdefiniowanego jak przed chwilą, jest jedyną możliwą wartością b. To dowodzi 2-ostrości grupy afinicznej. Pozostała 2-przechodniość. Wystarczy sprawdzić, że podane wartości a b są poprawne:

    a*x + b  =  a*x + Sub(a*x) + X  =  X

- działa. Teraz:

    a*y + b  =  a*y + Sub(a*x) + X  =  a*(y + Sub(x)) + X

     =  (Y + Sub(X)) + X  =  Y

- działa. Udowodniliśmy:

TWIERDZENIE 2:  Grupa bijekcji afinicznych gildu  K  jest ostro 2-przechodnia.

Charakteryzacja skończonych przestrzeni ostro 2-przechodnich (cz. II)

W poprzedniej notce:

Charakteryzacja skończonych przestrzeni ostro 2-przechodnich (cz. I)

zacząłem, a w niniejszej kontynuuję dowód afiniczności 1-wymiarowej dowolnej, skończonej przestrzeni ostro 2-przechodniej (X G).

Niniejsza notka jest kontynuacją poprzednich, z cyklu:

    Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy)

W szczególności zakładamy, że (X G) jest skończoną, n-punktową, ostro 2-przechodnią przestrzenią, oraz V(G) - zbiorem wszystkich permutacji z G, niemających punktu stałego; ponadto

        A(G) := V(G) ∪ {Id_X};
        Xif(a) := { g ∈ G : g(a) = a }   dla każdego  a ∈ X;
        O E ∈ X,   przy czym  O ≠ E.

=================================================
Lewostronna rozdzielność względem mnożenia przez 2
=================================================

W notce:

    Przestrzenie ostro 2-przechodnie. Cykle. Inwolucje. Przemienność wektorów (grupy A(G)).

rozpatrywałem dwa podejścia do dodawania dwóch różnych wektorów  v w, gdyż chodziło o dowod przemienności. Tym razem popatrzmy na przypadek  v=w  czyli  a=b,  gdzie  a=v(O)  oraz  b:=w(O);  ale tym razem mniejsza o obiekty  w b.  Rozważania o podwojeniu są nietrywialne tylko dla nieparzystego  n := |X|,  co odtąd w tym semencie tekstu o rozłączności względem mnożenia przez 2, zakładamy: niech  n  będzie nieparzyste.

Z jednej strony podwojony punkt  a+a  definiujemy jako  v(a),  gdzie  v  jest wektorem, spełniającym  v(O) = a.  Z drugiej strony chcielibyśmy, żeby podwojone  a  było punktem  j_a(O),  gdzie  j_a  jest nietrywialną inwolucją, spełniającą  j_a(a) = a.  Pokażę, że te dwie definicje podwojonego punktu dają ten sam wynik - udowodnię:

        j_a(O)  =  v(a)

Dowód:  Najpierw rozpatrzmy nietrywialną inwolucję  j_O, dla której punktem stałym jest punkt  O.  Wtedy:

        j_a  =  v o j_O o v^-1

jest nietrywialną inwolucją, której punktem stałym jest punkt  a := v(O).  Także inwolucją jest  v o j_O. Ponieważ:

        (v o j_O)(O)  =  a

to

        (v o j_O)(a)  =  O

Zatem:

    j_a(v(a))  =  (v o j_O o v^-1)(v(a)))  =  (v o j_O)(a)  =  O

więc

    j_a(O)  =  v(a)

KONIEC dowodu

Przejdźmy wreszcie do rozdzielności. Niech  r ∈ Xif(O)  oraz  a ∈ X.  Chcemy pokazać, że

        r(a + a)  =  r(a) + r(a)

DOWÓD:  Niech  j_a  będzie nietrywialną inwolucją, o punkcie stałym  a,  tak że

        a+a = j_a(O)

Wtedy


        j_r(a)  =  r o j_a o r^-1

jest nietrywialną inwolucją, o punkcie stałym  r(a).  Zatem


        j_r(a)(O)  =  r(a) + r(a)

Stąd:

    r(a) + r(a)  =  j_r(a)(O)  =  (r o j_a o r^-1)(O)  =  (r o j_a)(O)  =  r(a+a)

KONIEC dowodu

=================================================
Mnożenie  ⋅  w  X\{O}  jako operacja grupowa
=================================================

Wiemy z wcześniejszych rozważań ogólnych, że:

        M(G)  :=  { g|X\{O} : g ∈ Xif(O) }

jest ostro 1-przechodnią grupą permutacji zbioru  X\{O}.  Grupa ta jest izomorficzna z algebraiczną strukturą  (X\{O} ⋅),  zdefiniowaną w poprzedniej notce. Zatem grupą jest także struktura algebraiczna  (X\{O} ⋅).

=================================================
Rozdzielność dodawania względem mnożenia w X
=================================================

Niech  a b c ∈ X. Chcemy najpierw dowieść lewego prawa rozdzielności:

        a⋅(b + c)  =  a⋅b + a⋅c

Równość zachodzi dla  a=O. Załóżmy, że odtąd  a ≠ O,  oraz niech  r_a ∈ Xif(O)  spełnia 

        r_a(E)  =  a

Chcemy udowodnić równość:

        r_a(b+c)  =  r_a(b) + r_a(c)

Dla  b=c  uczyniliśmy to powyżej, w odcinku tekstu o rozdzielności względem mnożenia przez 2. Dla różnych  b c  dowiedliśmy tej rozdzielności w cz. I.

KONIEC dowodu

UWAGA 0  Przypominam, że rozdzielność dla b=c, przy parzystym  n, jest trywialna,  0=0.

(Będę kontynuować)

Charakteryzacja skończonych przestrzeni ostro 2-przechodnich (cz. I)

Pokażę (w tej i następnej notce), że każda skończona, n-punktowa przestrzeń ostro 2-przechodnia  (X G)  jest zbiorem elementów pewnego ciała skończonego, wraz z jego grupą przekształceń afinicznych (traktujemy ciało jako 1-wymiarową przestrzeń afiniczną).

Niniejsza notka jest kontynuacją poprzednich, z cyklu:

Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy)

W szczególności zakładamy, że (X G) jest skończoną, n-punktową, ostro 2-przechodnią przestrzenią, oraz V(G) - zbiorem wszystkich permutacji z G, niemających punktu stałego; ponadto

        A(G)  :=  V(G) ∪ {Id_X}
        Xif(a)  :=  { g ∈ G : g(a) = a }   dla każdego  a ∈ X

==========================================
Lewostronna rozdzielność
==========================================

Niech  O ∈ X,  r ∈ Xif(O),  oraz niech  v w ∈ A(G)  będą dwoma różnymi wektorami. Ponadto wprowadźmy punkty  a b A B  oraz involucje  s S ∈ Inv(G),  takie że:

        a := v(O)
        b := w(O)
        s(a) := b   (zatem także  s(b) := a)

        A := r(a)
        B := r(b)   (punkty  A B  są różne)
        S(A) := B   (zatem także  S(B) := A)

Zachodzi wtedy, jak pokażę poniżej, następująca rozdzielność:

        S(O) = (r o s)(O)

Jest to rozdzielność, gdyż lewa strona  S(O)  gra rolę  A+B = r(a)+r(b),  oraz prawa strona  (r o s)(O)  gra rolę  r(a+b).  Otrzymujemy zatem równość:  r(a+b) = r(a) + r(b).  Więcej o tym napiszę w dalszej części niniejszej notki.

DOWÓD (powyższej rozdzielności)  Oczywiście:

        (r o s o r^-1)(A) = B  oraz  (r o s o r^-1)(B) = A

Zatem:

        S  =  r o s o r^-1

Ponadto:

        A = V(O)   dla wektora  V := r o v o r^-1
        B = W(O)   dla wektora  W := r o w o r^-1

Zgodnie z wynikiem z poprzedniej notki (o przemienności wektorów):

    S(O)  =  (V o W)(O)  =  ((r o v o r^-1) o (r o w o r^-1))(O)

        =  (r o v o w o r^-1)(O)  =  (r o v o w)(O)  =  (r o s)(O)

KONIEC dowodu (powyższej rozdzielności)

=========================================================
Definicja struktury ciała w przestrzeni ostro 2-przechodniej
=========================================================

Niech  O E ∈ X  będą dwoma różnymi punktami. Zdefinijmy, dla dowolnych  a b ∈ X,  gdzie  a ≠ O,  permutacje  ad_b ∈ A(G)  oraz  mp_a ∈ Xif(a)  jako (jedyne!) spełniające równości:

        ad_b(O) := b
        mp_a(E) := a

oraz dodatkowo definiujemy  mp_O  jako funkcję  X  w siebie, tożsamościowo równą O:

        mp_O(x) := O   dla każdego  x ∈ X

W szczególności:

        ad_O  =  Id_X  =  mp_E

Z pomocą dwóch właśnie wprowadzonych funkcji dodawania stałej oraz mnożenia przez stałą, pełne 2-argumentowe dodawanie i mnożenie definiujemy następująco:

        x + y  :=  ad_x(y)
        x ⋅ y  :=  mp_x(y)

dla dowolnych  x y ∈ X.

Struktura ostro 1-przechodniej grupy  A(G)  przenosi się izomorficznie na  X  poprzez bijekcję zbiorów  X A(G),  daną przez:

        x ↦ ad_x     dla x ∈ X

Jest to szczególny przypadek ogólnego twierdzenia (obserwacji) o grupach ostro 1-przechodnich (zachodzi zarówno w przypadku skończonym jak i nieskończonym), ale dla spokoju ducha podam dowód. Wystarczy pokazać, że podana bijekcja jest izomorfizmem struktur algebraicznych (A(G) o)  oraz (X +). W tym celu porównajmy wektor ad_a+b z wektorem ad_a o ad_b. Oba odwzorowują (jako wektory-permutacje) element  O  w element  a+b. Jest to więc ten sam wektor. Ponieważ struktura algebraiczna  (A(G) o)  jest grupą, a struktura algebraiczna  (X +)  jest z nią izomorficzna, to grupą jest także struktura algebraiczna  (X +).

Przestrzenie ostro 2-przechodnie. Cykle. Inwolucje. Przemienność wektorów (grupy A(G)).

Niniejsza notka jest kontynuacją poprzednich, z cyklu:

    Przestrzenie ostro 2-przechodnie (spis rzeczy)

W szczególności zakładamy, że (X G) jest skończoną, n-punktową, ostro 2-przechodnią przestrzenią, oraz V(G) - zbiorem wszystkich permutacji z G, niemających punktu stałego; ponadto

        A(G)  =  V(G) ∪ {Id_X}


============================
Cykle
============================

Niech  g ∈ G  będzie dowolne. Gdy g^t = Id_X, to długość cyklu każdego x ∈ X:

        (x g(x) ... g^s-1)

gdzie s jest najmniejszą liczbą naturalna (1 2 ...), dla której g^s(x) = x, jest podzielnikiem liczby t: zachodzi s|t.

Niech teraz  g ∈ G \ {Id_X}.  Wtedy istnieje najmniejsza liczba naturalna  t > 1,  i taka, że istnieje  a ∈ X,  spełniające:

        g^t(a)  =  a

Zatem Fix(g^t(a)) zawiera zbiór t-elementowy (cykl)

        { a g(a) ... g^t-1(a) }

Na mocy ostrości oznacza to, że  g^t = Id_X. Zatem, na mocy minimalności t,

długość każdego niejednopunktowego cyklu permutacji g jest równa t; gdy g nie jest identycznością, to co najwyżej jeden cykl może mieć długość różną od t - równą 1.

================================
Inwolucje
================================

Permutację g ∈ G nazywamy inwolucją ⇐:⇒ g o g = Id_X. Gdy g ≠ Id_X, to, na mocy ostatniego stwierdzenia powyżej, wszystkie cykle permutacji g są 2-puntowe, co najwyżej poza jednym. Oznacza to, że dla n parzystego każda inwolucja należy do A(G). Co więcej, dla n parzystego istnieje co najmniej n różnych inwolucji - rzeczywiście, ustalmy O ∈ X. Wtedy dla każdego  x ∈ X\{O}  dostajemy inwolucję  g  taką, że  g(O) = x  oraz  g(x) = O.  Jest ich n-1.  Ponadto dochodzi identyczność. Skoro tak, to dla parzystego n zachodzi równość

        Inv(G) = A(G)    (dla parzystego n)

Dla n nieparzystego rozpatrzmy dowolną nieidentycznościową inwolucję. Oznaczmy ją przez j_O, gdzie O jest jej jedynym punktem stałym, J_O(O) = O. Dla dowolnego a ∈ X wybierzmy dowolną permutację f ∈ G, spełniającą f(O) = a. Wtedy

        j_a  :=  f o j_O o f^-1

jest inwolucją, ktorej punktem stałym jest a. Otrzymaliśmy w ten sposób n różnych inwolucji nieidentycznościowych. Łącznie z Id_X jest ich n+1. Więcej ich nie ma. Rzeczywiście, dla każdej pary różnych punktów istnieje dokładnie jedna (nieidentycznościowa) inwolucja, która ją transponuje. Par istnieje dokładnie

        (n ## 2)  =  n ⋅ (n-1)/2

Przy tym każda nieidentycznościowa inwolucja, dla nieparzystego n, transponuje (n-1)/2 różnych par. Zatem takich inwolucji jest

        (n ## 2) / ((n-1)/2) = n

co łącznie z identycznością daje:

        |Inv(G)|  =  n+1

Z powyższego wynika, że w powyższym rozumowaniu różne dozwolone wybory  f  dawały tę samą inwolucje  j_a;  także dla  a = O.  Otrzymaliśmy też informację o strukturze zbioru  Inv(G),  w szczególności:

        f o j_a o f^-1 = j_a  dla każdego  f ∈ Xif(a)

Bowiem mamy po jednej involucji  j_a  w każdej podgrupie  Xif(a),  a ∈ X.

====================================================
Kompozycje inwolucji i wektorów
====================================================

Dla parzystego  n  dowiedziona wcześniej równość

        Inv(G) = A(G)    (dla parzystego n)

daje nam całą podstawową wiedzę na temat wektorów i inwolucji. Niech więc odtąd, w niniejszej części notki, liczba  n  bedzie nieparzysta.

Niech  s ∈ Inv(G) \ {Id_X}  będzie nietrywialną inwolucją; niech  a ∈ X,  oraz  b := s(a) ≠ a.  Istnieje wtedy (dokładnie jeden) wektor  v ∈ V(G),nbsp taki że  v(a) = b.  Oczywiście:

        (s o v)(a) = a

więc:

        ((s o v) o (s o v))(a) = a

Ale  s o v o s  jest wektorem (bo  s  jest swoją własną odwrotnością); więc także:

        (s o v) o (s o v) = (s o v o s) o v

jest wektorem (jako kompozycja dwóch wektorów). Jest to wektor tożsamościowy, bo ma punkt stały  a.  Zatem:

        (s o v) o (s o v) = Id_X

Innymi słowy,  kompozycja  s o v  jest inwolucją, s o v ∈ Inv(G).  Co więcej, znamy jej punkt stały:

        s o v = j_a  ∈  Xif(a) ∩ Inv(G)

lub pełniej:

        Xif(a) ∩ Inv(G)  =  {s o v}

Oznacza to, że z każdym punktem  a ∈ X\{O}  związany jest inny wektor  v ∈ V(G). Ponieważ  |X\{O}| = |V(G)| = n-1,  to w grę wchodzi każdy nietrywialny wektor. Otrzymaliśmy zatem już 99% natępującego twierdzenia:

TWIERDZENIE 0  Kompozycja  s o v,  oraz  v o s,  dowolnego wektora z dowolną inwolucją, jest inwolucją.

Jest tak oczywiście także dla wektora trywialnego  Id_X.  Czyli wiemy, że twierdzenie zachodzi dla wszystkich kompozycji  s o v.  Ale kompozycja  v o s  jest odwrotnością komppozycji  s o v^-1 czyli inwolucji (bo  v^-1  jest wektorem), a więc sama też jest inwolucją.  KONIEC dowodu

==================================
Przemienność wektorów
==================================

Następujące twierdzenie dowiedliśmy wcześniej dla parzystych  n:

TWIERDZENIE 1  w o v = v o w  dla dowolnych wektorów  v w ∈ A(G) - czyli grupa  A(G)  jest abelowa (dla skończonego  n := |X| = A(G) > 1;  nie wiem jak jest w przypadku nieskończonym).

DOWÓD  Skoro dla parzystych  n  twierdzenie zachodzi, to załóżmy, że  n  jest nieparzyste.

Niech  v w ∈ A(G)  będą dwoma różnymi wektorami. Niech  O ∈ X  będzie dowolne; oraz zdefiniujmy  a := v(O)  oraz  b := w(O). Więc  a b  są różne, i istnieje (dokładnie jedna) inwolucja  s,  transponująca  a b.  Zatem dla inwolucji  s o v  dostajemy:

        (s o v)(O) = b
        (s o v)(b) = O
        s((v o w)(O)) = O       (bo  b = w(O))
        s(O) = (v o w)(O)

Podobnie dowodzi się:

        s(O) = (w o v)(O)

Zatem dla wektorów  w o v  oraz  v o w  zachodzi równość:

        (v o w)(O)  =  (w o v)(O)

Skoro tak, to wektory te są równe:

        v o w  =  w o v

========================
UWAGI
========================

Twierdzenia 0 1  zachodzą dla dowolnych liczb naturalnych  n > 1,  zarówno dla parzystych, jak i dla nieparzystych. Przy tym dla parzystych, odkąd wiemy, że  Inv(G) = A(G)  (dla n - parzystych), twierdzenia te zachodzą trywialnie.

Także równość:

        s(O) = (v o w)(O)

gdzie  v w  są dwoma różnymi wektorami, oraz  punkt  wraz z inwolucją  s  mają własność:

        s(v(O)) = w(O)   (wię  s(w(O)) = v(O)) )

zachodzi zarówno dla nieparzystych  n (co dowiodłem), jak i dla parzystych  n (co jest trywialne, gdyż po prostu, i jednoznacznie:

        s = w o v = v o w

gdy  Inv(G) = A(G)).